Как мне сделать выборку из дискретного (категориального) распределения в пространстве журнала?

Предположим, у меня есть дискретное распределение, определенное вектором такое, что категория будет нарисована с вероятностью и так далее. Затем я обнаружил, что некоторые из значений в распределении настолько малы, что не соответствуют представлению чисел с плавающей запятой моего компьютера, поэтому для компенсации я делаю все свои вычисления в лог-пространстве. Теперь у меня есть журнал пространства векторного .$\theta_0, \theta_1, ..., \theta_N$$0$$\theta_0$$log(\theta_0), log(\theta_1), ..., log(\theta_N)$

Можно ли сделать выборку из распределения так, чтобы исходные вероятности (категория рисуется с вероятностью ), но не выходя из лог-пространства? Другими словами, как мне сделать выборку из этого дистрибутива без недостатков?$i$$\theta_i$

С помощью трюка Гамбеля-Макса можно выбрать из категориального распределения данные логарифмических вероятностей, не выходя из логарифмического пространства . Идея состоит в том, что если вам заданы ненормализованные логарифмические вероятности , которые можно преобразовать в правильные вероятности с помощью функции softmax$\alpha_1,\dots,\alpha_k$

$$p_i = \frac{\exp(\alpha_i)}{\sum_j \exp(\alpha_j)}$$

затем для выборки из такого распределения вы можете использовать тот факт, что если являются независимыми выборками, взятыми из стандартного распределения Гумбеля, параметризованного местоположением ,$g_1,\dots,g_k \sim \mathcal{G}(0)$$m$

$$F(G \le g) = \exp(-\exp(-g+m))$$

тогда можно показать (см. ссылки ниже), что

$$\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max} \begin{align} \argmax_i \,\{\, g_i + \alpha_i \,\} &\sim \frac{\exp(\alpha_i)}{\sum_j \exp(\alpha_j)} \\ \max_i\,\{\, g_i + \alpha_i \,\} &\sim \mathcal{G}(\; \log\sum_i\exp\{\alpha_i\}\;) \end{align}$$

и мы можем взять

$$z = \argmax_i \,\{\, g_i + \alpha_i \,\}$$

как выборка из категориального распределения, параметризованного вероятностями . Этот подход был более подробно описан в записях блога Райаном Адамсом и Лораном Динхом , более того, Крис Дж. Мэддисон, Дэниел Тарлоу и Том Минка выступили с речью ( слайдами ) на конференции Neural Information Processing Systems (2014) и написали статью под названием A * Выборка, которая обобщала эти идеи (см. Также Maddison, 2016; Maddison, Mnih and Teh, 2016; Jang and Poole, 2016), которые ссылаются на Yellott (1977), упоминая его как одного из тех, кто впервые описал это свойство.$p_1,\dots,p_k$

Это довольно легко реализовать, используя выборку с обратным преобразованием , взяв где - отрисовки из равномерного распределения по . Это, конечно, не самые эффективные по времени алгоритмы для выборки из категориального распределения, но это позволяет вам оставаться в лог-пространстве, что может быть преимуществом в некоторых сценариях.$g_i=-\log(-\log u_i)$$u_i$$(0,1)$

---

Maddison, CJ, Tarlow, D. & Minka, T. (2014). A * выборка. [В:] Достижения в нейронных системах обработки информации (стр. 3086-3094).

Йеллотт, JI (1977). Связь между аксиомой выбора Люси, теорией сравнительного суждения Терстоуна и двойным экспоненциальным распределением. Журнал математической психологии, 15 (2), 109-144.

Maddison, CJ, Mnih, A. & Teh, YW (2016). Конкретное распределение: непрерывная релаксация дискретных случайных величин. Препринт arXiv arXiv: 1611.00712.

Jang E., Gu, S. & Poole, B. (2016). Категориальная репараметризация с помощью Gumbel-Softmax. Препринт arXiv arXiv: 1611.01144.

Мэддисон, CJ (2016). Модель пуассоновского процесса для Монте-Карло. Препринт arXiv arXiv: 1602.05986.

Вот один из распространенных способов избежать переполнения / переполнения.

Пусть .$m = \max_i \log(\theta_i)$

Пусть .$\theta_i' = \exp( \log(\theta_i) - m )$

Вы можете из .$\theta' = [\theta_1' , \theta_2',...]$