В продолжение моего предыдущего поста по этой теме я хочу поделиться некоторым предварительным (хотя и неполным) исследованием функций, лежащих в основе линейной алгебры и связанных с ней R-функций. Это должно быть работа в процессе.
Часть непрозрачности функций связана с «компактной» формой разложения Householder . Идея, лежащая в основе разложения Домхолдера, состоит в том, чтобы отразить векторы через гиперплоскость, определяемую единичным вектором как показано на диаграмме ниже, но целенаправленно выбирать эту плоскость так, чтобы проецировать каждый вектор-столбец исходной матрицы на стандартный единичный вектор. Нормализованный вектор нормы-2 можно использовать для вычисления различных преобразований Хаусхолдера .u A e 1 1 u I - 2Q RUAе11UЯ - 2у уTИкс
Результирующий прогноз может быть выражен как
знак ( хя= х1) × ∥ х ∥ ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢100⋮0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥+ ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢Икс1Икс2Икс3⋮Иксм⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Вектор представляет собой разницу между векторами столбцов в матрице которые мы хотим разложить, и векторами соответствующими отражению в подпространстве или "зеркале", определяемом .vИксAYU
Метод, используемый LAPACK, освобождает от необходимости хранить первую запись в отражателях Householder, превращая их в . Вместо нормализации вектора к с , это просто первая запись, которая преобразуется в ; тем не менее, эти новые векторы - назовите их все еще могут использоваться как векторы направления.1vU∥u∥=11w
Прелесть метода в том, что, учитывая, что в разложении имеет верхнюю треугольную форму, мы можем фактически использовать элементов в ниже диагонали, чтобы заполнить их этими отражателями . К счастью, ведущие элементы в этих векторах равны , предотвращая проблемы в «спорный» диагонали матрицы , зная , что все они являются , они не должны быть включены, и могут привести к диагонали к вхождениям .RQR0Rw11R
«Компактная QR» матрица в функции qr()$qr
может пониматься как грубое добавление матрицы и нижней треугольной матрицы «хранения» для «модифицированных» отражателей.R
Проекция «Домохозяин» по-прежнему будет иметь вид , но мы не будем работать с ( ), а скорее с вектором , из которых гарантируется, что только первая запись равна , иI−2uuTxu∥x∥=1w1
I−2uuTx=I−2w∥w∥wT∥w∥x=I−2wwT∥w∥2x(1) .
Можно предположить, что было бы хорошо хранить эти отражатели ниже диагонали или исключая первую запись , и называть это днем. Тем не менее, все не так просто. Вместо этого ниже диагонали находится комбинация и коэффициентов в преобразовании Домохозяина, выраженных как (1), так что определение определяется
как:wR1qr()$qr
wtau
τ=wTw2=∥w∥2 , отражатели могут быть выражены как . Эти векторы «отражателя» хранятся прямо под в так называемом «компактном ».reflectors=w/τRQR
Теперь мы находимся на один градус от векторов , и первая запись больше не равна , следовательно, вывод должен включать ключ для их восстановления, поскольку мы настаиваем на исключении первой записи векторов «отражателя» в подходит всем . Итак, мы видим значения в выводе? Ну, нет, это было бы предсказуемо. Вместо этого в выводе (где хранится этот ключ) мы находим .1 τ ρ = ∑ отражатели 2w1qr()
qr()$qr
τqr()$qraux
ρ=∑reflectors22=wTwτ2/2
Итак, в рамке красного цвета ниже мы видим «отражатели» ( ), исключая их первую запись.w/τ
Весь код здесь , но так как этот ответ о пересечении кодирования и линейной алгебры, я вставлю вывод для простоты:
options(scipen=999)
set.seed(13)
(X = matrix(c(rnorm(16)), nrow=4, byrow=F))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.5543269 1.1425261 -0.3653828 -1.3609845
[2,] -0.2802719 0.4155261 1.1051443 -1.8560272
[3,] 1.7751634 1.2295066 -1.0935940 -0.4398554
[4,] 0.1873201 0.2366797 0.4618709 -0.1939469
Теперь я написал функцию House()
следующим образом:
House = function(A){
Q = diag(nrow(A))
reflectors = matrix(0,nrow=nrow(A),ncol=ncol(A))
for(r in 1:(nrow(A) - 1)){
# We will apply Householder to progressively the columns in A, decreasing 1 element at a time.
x = A[r:nrow(A), r]
# We now get the vector v, starting with first entry = norm-2 of x[i] times 1
# The sign is to avoid computational issues
first = (sign(x[1]) * sqrt(sum(x^2))) + x[1]
# We get the rest of v, which is x unchanged, since e1 = [1, 0, 0, ..., 0]
# We go the the last column / row, hence the if statement:
v = if(length(x) > 1){c(first, x[2:length(x)])}else{v = c(first)}
# Now we make the first entry unitary:
w = v/first
# Tau will be used in the Householder transform, so here it goes:
t = as.numeric(t(w)%*%w) / 2
# And the "reflectors" are stored as in the R qr()$qr function:
reflectors[r: nrow(A), r] = w/t
# The Householder tranformation is:
I = diag(length(r:nrow(A)))
H.transf = I - 1/t * (w %*% t(w))
H_i = diag(nrow(A))
H_i[r:nrow(A),r:ncol(A)] = H.transf
# And we apply the Householder reflection - we left multiply the entire A or Q
A = H_i %*% A
Q = H_i %*% Q
}
DECOMPOSITION = list("Q"= t(Q), "R"= round(A,7),
"compact Q as in qr()$qr"=
((A*upper.tri(A,diag=T))+(reflectors*lower.tri(reflectors,diag=F))),
"reflectors" = reflectors,
"rho"=c(apply(reflectors[,1:(ncol(reflectors)- 1)], 2,
function(x) sum(x^2) / 2), A[nrow(A),ncol(A)]))
return(DECOMPOSITION)
}
Давайте сравним выходной сигнал со встроенными функциями R. Сначала самодельная функция:
(H = House(X))
$Q
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967 0.5382474 0.2769719
[2,] 0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665 0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794 0.7928072
$R
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318 1.2524151 0.5562856
[2,] 0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 0.4754876
$`compact Q as in qr()$qr`
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183 1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.09911084 0.03909742 0.6235799 0.4754876
$reflectors
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.29329367 0.00000000 0.0000000 0
[2,] -0.14829152 1.73609434 0.0000000 0
[3,] 0.93923665 -0.67574886 1.7817597 0
[4,] 0.09911084 0.03909742 0.6235799 0
$rho
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876
к функциям R:
qr.Q(qr(X))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.29329367 -0.73996967 0.5382474 0.2769719
[2,] 0.14829152 -0.65124800 -0.5656093 -0.4837063
[3,] -0.93923665 0.13835611 -0.1947321 -0.2465187
[4,] -0.09911084 -0.09580458 -0.5936794 0.7928072
qr.R(qr(X))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.890006 -1.4517318 1.2524151 0.5562856
[2,] 0.000000 -0.9686105 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.000000 0.0000000 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 0.4754876
$qr
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1.89000649 -1.45173183 1.2524151 0.5562856
[2,] -0.14829152 -0.96861050 -0.6449056 2.1735456
[3,] 0.93923665 -0.67574886 -0.8829916 0.5180361
[4,] 0.09911084 0.03909742 0.6235799 0.4754876
$qraux
[1] 1.2932937 1.7360943 1.7817597 0.4754876
qr.qy()
согласуются с ручными расчетами, заqr.Q(qr(X))
которыми следуетQ%*%z
мой пост. Мне действительно интересно, могу ли я сказать что-то другое, чтобы ответить на ваш вопрос без дублирования. Я действительно не хочу делать плохую работу ... Я прочитал достаточно ваших постов, чтобы иметь большое уважение к вам ... Если я найду способ выразить концепцию без кода, просто концептуально через линейную алгебру, Я вернусь к этому. Я счастлив, однако, что вы нашли мое исследование вопроса какой-то ценности. С наилучшими пожеланиями, Тони.