Простой способ - растеризовать область интегрирования и вычислить дискретное приближение к интегралу.
Есть некоторые вещи, на которые стоит обратить внимание:
Удостоверьтесь, что вы охватили больше, чем степень точек: вам нужно включить все места, где оценка плотности ядра будет иметь какие-либо заметные значения. Это означает, что вам нужно увеличить экстент точек в три-четыре раза по пропускной способности ядра (для ядра Гаусса).
Результат будет несколько отличаться в зависимости от разрешения растра. Разрешение должно составлять небольшую часть полосы пропускания. Поскольку время расчета пропорционально количеству ячеек в растре, для выполнения серии вычислений с использованием более грубых разрешений почти не требуется дополнительного времени: убедитесь, что результаты для более грубых совпадают с результатами для лучшее разрешение. Если это не так, может потребоваться более точное разрешение.
Вот иллюстрация для набора данных 256 точек:
Точки показаны черными точками, наложенными на две оценки плотности ядра. Шесть больших красных точек - это «зонды», на которых оценивается алгоритм. Это было сделано для четырех полос пропускания (по умолчанию от 1,8 (по вертикали) до 3 (по горизонтали), 1/2, 1 и 5 единиц) с разрешением 1000 на 1000 ячеек. Следующая матрица диаграммы рассеяния показывает, насколько сильно результаты зависят от ширины полосы для этих шести точек измерения, которые охватывают широкий диапазон плотностей:
Изменение происходит по двум причинам. Очевидно, что оценки плотности отличаются, вводя одну форму изменения. Что еще более важно, различия в оценках плотности могут создать большие различия в любой отдельной («пробной») точке. Последний вариант наиболее велик вокруг «полос» скоплений точек средней плотности - именно в тех местах, где этот расчет, вероятно, будет использоваться чаще всего.
Это демонстрирует необходимость существенной осторожности при использовании и интерпретации результатов этих вычислений, поскольку они могут быть настолько чувствительны к относительно произвольному решению (используемой полосе пропускания).
Код R
Алгоритм содержится в полдюжины строк первой функции f. Чтобы проиллюстрировать его использование, остальная часть кода генерирует предыдущие цифры.
library(MASS) # kde2d
library(spatstat) # im class
f <- function(xy, n, x, y, ...) {
#
# Estimate the total where the density does not exceed that at (x,y).
#
# `xy` is a 2 by ... array of points.
# `n` specifies the numbers of rows and columns to use.
# `x` and `y` are coordinates of "probe" points.
# `...` is passed on to `kde2d`.
#
# Returns a list:
# image: a raster of the kernel density
# integral: the estimates at the probe points.
# density: the estimated densities at the probe points.
#
xy.kde <- kde2d(xy[1,], xy[2,], n=n, ...)
xy.im <- im(t(xy.kde$z), xcol=xy.kde$x, yrow=xy.kde$y) # Allows interpolation $
z <- interp.im(xy.im, x, y) # Densities at the probe points
c.0 <- sum(xy.kde$z) # Normalization factor $
i <- sapply(z, function(a) sum(xy.kde$z[xy.kde$z < a])) / c.0
return(list(image=xy.im, integral=i, density=z))
}
#
# Generate data.
#
n <- 256
set.seed(17)
xy <- matrix(c(rnorm(k <- ceiling(2*n * 0.8), mean=c(6,3), sd=c(3/2, 1)),
rnorm(2*n-k, mean=c(2,6), sd=1/2)), nrow=2)
#
# Example of using `f`.
#
y.probe <- 1:6
x.probe <- rep(6, length(y.probe))
lims <- c(min(xy[1,])-15, max(xy[1,])+15, min(xy[2,])-15, max(xy[2,]+15))
ex <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, lim=lims)
ex$density; ex$integral
#
# Compare the effects of raster resolution and bandwidth.
#
res <- c(8, 40, 200, 1000)
system.time(
est.0 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, lims=lims)$integral))
est.0
system.time(
est.1 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1, lims=lims)$integral))
est.1
system.time(
est.2 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1/2, lims=lims)$integral))
est.2
system.time(
est.3 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=5, lims=lims)$integral))
est.3
results <- data.frame(Default=est.0[,4], Hp5=est.2[,4],
H1=est.1[,4], H5=est.3[,4])
#
# Compare the integrals at the highest resolution.
#
par(mfrow=c(1,1))
panel <- function(x, y, ...) {
points(x, y)
abline(c(0,1), col="Red")
}
pairs(results, lower.panel=panel)
#
# Display two of the density estimates, the data, and the probe points.
#
par(mfrow=c(1,2))
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=0.5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=1/2", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=5", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
