Доверительный интервал для произведения двух параметров

Предположим, у нас есть два параметра, $p_1$ и . У нас также есть две оценки максимального правдоподобия и и два доверительных интервала для этих параметров. Есть ли способ построить доверительный интервал для ? $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— гость
источник

Вы можете использовать метод Delta для расчета стандартной ошибки $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ . Дельта-метод утверждает, что аппроксимация дисперсии функции $g(t)$ определяется как:

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$ Аппроксимация ожидания

g (t)

$g(t)$ с другой стороны, дается выражением:

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$ Так что ожидание - это просто функция. Ваша функция

Ожидание

будет просто:

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ . Для дисперсии нам понадобятся частные производные от

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$ :

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

Используя функцию для дисперсии выше, мы получаем:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ Тогда стандартная ошибка будет просто квадратным корнем вышеприведенного выражения. Получив стандартную ошибку, можно рассчитать 95% доверительный интервал для

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Чтобы вычислить стандартную ошибку $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ , вам нужна дисперсия $\hat{p_{1}}$ и $\hat{p_{2}}$ которую вы обычно можете получить с помощью матрицы дисперсии-ковариации $\Sigma$ которая в вашем случае была бы матрицей 2x2, потому что у вас есть две оценки. Диагональные элементы в матрице дисперсии-ковариации являются дисперсиями $\hat{p_{1}}$ и $\hat{p_{2}}$ а недиагональные элементы - ковариацией $\hat{p_{1}}$ и $\hat{p_{2}}$ (матрица симметричная). Как упоминает @gung в комментариях, матрица дисперсии-ковариации может быть извлечена большинством статистических программ. Иногда алгоритмы оценки предоставляют гессенскую матрицу (я не буду вдаваться в подробности об этом здесь), а матрица дисперсии-ковариации может быть оценена по инверсии отрицательного гессиана (но только если вы максимизировали логарифмическую вероятность !; см. этот пост ). Опять же, обратитесь к документации вашего статистического программного обеспечения и / или Интернета о том, как извлечь гессиан и как вычислить обратную матрицу.

В качестве альтернативы, вы можете получить дисперсии $\hat{p_{1}}$ и $\hat{p_{2}}$ из доверительных интервалов следующим образом (это справедливо для 95% -CI): $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ . Для $100(1-\alpha)\%$ -ci, расчетная стандартная ошибка: $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ , где $z_{1-\alpha/2}$ -квантиль $(1-\alpha/2)$ стандартного нормального распределения (для $\alpha=0.05$ , $z_{0.975}\approx 1.96$ ). Тогда $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ , То же самое верно для дисперсии $\hat{p_{2}}$ . Нам также нужна ковариация $\hat{p_{1}}$ и $\hat{p_{2}}$ (см. Параграф выше). Если $\hat{p_{1}}$ и $\hat{p_{2}}$ независимы, ковариация равна нулю, и мы можем опустить член.

Этот документ может предоставить дополнительную информацию.

— COOLSerdash
источник

+1. Дисперсии параметров и их ковариации можно найти, изучив матрицу дисперсии-ковариации

, которую может предоставить большинство статистических программ. Например, в R это ? Vcov ; & в SAS, добавляется в качестве опции в оператор модели в PROC REG .

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— gung - Восстановить Монику

@gung На момент педантизма это может быть стоит отметить, (потому что я знаю , что это сбивает с толку некоторых людей) , что это действительно ковариационная матрица

вместо

(а на самом деле это даже не на самом деле , что, поскольку стандартное отклонение должно быть оценено из выборки, так что это действительно оценочная матрица дисперсии-ковариации ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— Silverfish

@ Серебряная рыба, должным образом наказанная. В следующий раз я буду говорить «оценочная ковариационная матрица

».

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— gung - Восстановить Монику

Вы можете попробовать построить функцию вероятности профиля! и построить доверительный интервал из этого.

— kjetil b halvorsen

Разве

так как это параметр?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

Я нашел другое уравнение для расчета дисперсии продукта.

Если x и y независимо распределены, дисперсия произведения относительно проста: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Эти результаты также обобщаются на случаи, включающие три или более переменных (Goodman 1960). Источник: Регулирующие пестициды (1980), приложение F

Coolserdash: последний компонент V (x) * V (y) отсутствует в вашем уравнении. Является ли справочная книга (Регулирующие пестициды) неправильной?

Кроме того, оба уравнения могут быть не идеальными. « ... мы показываем, что распределение произведения трех независимых нормальных переменных не является нормальным ». ( источник ). Я ожидал бы некоторых положительного перекоса даже в произведении двух нормально распределенных переменных.

— Марек Черны
источник

Длина CI / 2 / 1.96 = se, т.е. стандартная ошибка A или B
se ^ 2 = var, т.е. дисперсия оценки A или B
Используйте оценочные значения A или B в качестве средних значений A или B, т. Е. E (A) или E (B).
Следуйте по этой странице http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html чтобы получить var (A * B), т.е. var (C)
Квадратный корень из var (C) является набором C
(C - 1,96 * se (C), C + 1,96 * se (C)) составляет 95% CI для C

Обратите внимание, что если ваши А и В коррелированы, вам также необходимо учитывать их ковариацию.

— Кофе со льдом
источник