Разница между многомерным стандартным нормальным распределением и гауссовой копулой

Интересно, в чем разница между многомерным стандартным нормальным распределением и гауссовой связкой, поскольку, когда я смотрю на функцию плотности, они кажутся мне одинаковыми.

Моя проблема в том, почему гауссова связка вводится или какую пользу приносит гауссова связка, или в чем ее преимущество, когда гауссова связка является не чем иным, как самой многомерной стандартной нормальной функцией.

Кроме того, какова концепция, лежащая в основе вероятностного интегрального преобразования в связке? Я имею в виду, что мы знаем, что связка - это функция с равномерной переменной. Почему оно должно быть равномерным? Почему бы не использовать фактические данные, такие как многомерное нормальное распределение, и найти матрицу корреляции? (Обычно мы отображаем доходность двух активов, чтобы рассмотреть их отношения, но когда это совокупность, вместо этого мы рисуем Us, которые являются вероятностями.)

Другой вопрос. Я также сомневаюсь, что корреляционная матрица из MVN может быть непараметрической или полупараметрической, как у копулы (для параметра копулы может быть тау Кендалла и т. Д.)

Я был бы очень благодарен за вашу помощь, так как я новичок в этой области. (но я прочитал много статей, и это единственные вещи, которые я не понимаю)

normal-distribution copula

— user26979
источник

Как вы "смотрите на функцию плотности"? Возможно, вы не используете метод, который достаточно чувствителен. Например, плотность, конечно, не является многомерной нормой, когда маргиналы ненормальны! Попробуйте это, используя гауссову связку с мультимодальным распределением, таким как бета : это должно выглядеть явно ненормально!

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$

— whuber

уравнение (6) является двумерной гауссовой связкой CDF iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/…, а раздел первого уравнения описания является двумерным стандартным нормальным CDF roguewave.com/portals/0/products/ imsl-numeric-library /… и когда мы сравниваем их вместе, функциональная форма очень похожа. ну они точно такие же для меня.

— user26979

Вы правы: именно поэтому вы не должны полагаться на случайные ссылки в Интернете, особенно на те, у которых плохо определены термины и ужасный набор текста. Проконсультируйтесь с Нельсоном (один из источников для вашей первой ссылки, и в высшей степени читабельным).

— whuber

Итак, если не упоминать вышеизложенное, в чем разница с вашей точки зрения?

— user26979

Одно общее правило о технических документах, особенно тех, которые можно найти в Интернете, заключается в том, что достоверность любого статистического или математического определения, предлагаемого в них, изменяется обратно пропорционально количеству не связанных между собой нестатистических тем, упомянутых в названии статьи. Заголовок страницы в первой предложенной ссылке (в комментарии к вопросу) - «От финансов к космологии: связка крупномасштабной структуры». Поскольку «финансы» и «космология» фигурируют на видном месте, мы можем быть уверены, что это не очень хороший источник информации о связках!

Вместо этого давайте обратимся к стандартному и очень доступному учебнику Роджеру Нельсену « Введение в связки» (второе издание, 2006 г.) для определения ключевых понятий.

... каждая связка представляет собой совместную функцию распределения с полями, которые являются однородными на [интервале с закрытой единицей . $[0,1]]$

[На стр. 23, внизу.]

Для некоторого понимания связок перейдите к первой теореме в книге, Теорема Склара :

Пусть будет совместная функция распределения с полями и . Тогда существует связка такая, что для всех в [расширенных действительных числах] $H$ $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, y) = C (F (x), G (y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[Заявлено на стр. 18 и 21.]

Хотя Нельсен не называет это так, он определяет гауссову связку в примере:

... если обозначает стандартную (одномерную) функцию нормального распределения, а обозначает стандартную двумерную функцию нормального распределения (с коэффициентом корреляции произведения Пирсона-момент ), то ... $\Phi$ $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[на стр. 23, уравнение 2.3.6]. Из обозначений сразу видно, что это действительно является совместным распределением для когда является двумерным нормальным. Теперь мы можем развернуться и построить новое двумерное распределение, имеющее любые желаемые (непрерывные) маргинальные распределения и для которых этот является связкой, просто заменив эти вхождения на и $C$ $(u,v)$ $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ : возьмитеэтотконкретный в характеристике связок выше. $G$ $C$

Так что да, это выглядит замечательно как формулы для двумерного нормального распределения, потому что оно является двумерным нормальным для преобразованных переменных . Поскольку эти преобразования будут нелинейными, когда и уже не являются (одномерными) самими нормальными CDF, результирующее распределение (в этих случаях) не является двумерным нормальным. $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

пример

$F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ $F$ $G$ $x$ $y$

участок

$0\le x \le 1$ $0 \le y$

Отсутствие симметрии делает его явно ненормальным (и без нормальных полей), но, тем не менее, имеет гауссову связку по построению. FWIW у него есть формула, и это некрасиво, также явно не двумерно. Normal:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) \exp (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

$Q$ $I_x$

— Whuber
источник

Спасибо за правку, @Cardinal: Мне стыдно за неправильное написание имени Нельсена, особенно когда я смотрю прямо на него в начале книги! (В свою защиту я впервые заметил это в библиографии ссылочной статьи ОП, где она также написана с ошибкой: это, должно быть, застряло у меня. :-)

— whuber

Это было настолько незначительно, что я решил пойти дальше и внести изменения. Написание является необычным (по крайней мере, на английском языке!), Особенно по сравнению с более распространенным вариантом. :-)

— кардинал