Условия существования информационной матрицы Фишера

В разных учебниках приводятся разные условия существования информационной матрицы Фишера. Ниже перечислены несколько таких условий, каждое из которых встречается в некоторых, но не во всех определениях «информационной матрицы Фишера».

1. Есть ли стандартный, минимальный набор условий?
2. Из 5 приведенных ниже условий, с которыми можно покончить?
3. Если с одним из условий можно покончить, почему вы считаете, что оно было включено в первую очередь?
4. Если одно из условий не может быть отменено, означает ли это, что те учебники, в которых оно не указано, дали ошибочное или, по крайней мере, неполное определение?

1. Закс, Теория статистического вывода (1971), с. 194.
   Матрица является положительно определенной для всех . θ ∈ $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Шервиш, Теория статистики (1997, корр. 2-е издание), определение 2.78, с. 111
   Множество одинаково для всех . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Боровков, Математическая статистика (1998). п. 147 являются непрерывно дифференцируема WRT .
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Боровков, Математическая статистика (1998). п. 147 является непрерывным и обратимым.
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, Статистика и эконометрические модели, том I (1995). Определение (а), стр. 81-82 существует
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Для сравнения, вот полный список условий в Lehman & Cassella. Теория точечной оценки (1998). п. 124 :

1. $\Theta$ - открытый интервал (конечный, бесконечный или полубесконечный)
2. Множество одинаково для всех . θ ∈ $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ существует и конечен.

А вот полный список условий в Барре, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971). Определение 1, с. 35 :

Оценка определяются для всех , каждый из его компонентов является квадрат интегрируем и имеет интеграл . $\theta\in\Theta$$=0$

Интересно отметить, что ни Lehman & Cassella, ни Barra не предусматривают, что дифференцируемы под знаком интеграла каждого , a состояние, которое встречается в большинстве других учебников, которые я исследовал. $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

У меня нет доступа ко всем ссылкам, но я хотел бы отметить несколько замечаний по некоторым из ваших пунктов:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• Трудно установить общие условия существования FIM, не отказываясь от некоторых моделей, для которых FIM действительно существует. Например, условие дифференцируемости не является необходимым условием существования FIM. Примером этого является двойная экспоненциальная модель или модель Лапласа. Соответствующий FIM хорошо определен, но плотность не является дважды дифференцируемой в моде. Некоторые другие модели, которые являются дважды дифференцируемыми, имеют FIM с плохим поведением и требуют некоторых дополнительных условий (см. Эту статью ).

Можно придумать очень общие достаточные условия, но они могут быть слишком строгими. Необходимые условия существования FIM до конца не изучены. Тогда ответ на ваш первый вопрос может быть не простым.