Границы хвоста по евклидовой норме для равномерного распределения по

11

Какие известны верхние оценки того, как часто евклидова норма равномерно выбранного элемента $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ будет больше заданного порога?

В основном меня интересуют границы, которые экспоненциально сходятся к нулю, когда $n$ намного меньше $d$ .

uniform extreme-value bounds

— Рики Демер
источник

Это легко ответить для порогов

t \leq n

$t\le n$ вы просто вычисляете объемы гиперсфер - но сложнее разобраться при

t > n

$t \gt n$ . Вы в любой из этих ситуаций?

— whuber

3

мне понадобится

t > n

$\: t > n \;\;$ ,

$\;\;\;\;$

— Рикки Демер

1

У меня нет времени, чтобы опубликовать подробный ответ в данный момент, но пока что есть подсказка: сравните

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$ с биномиальной случайной величиной с тем же самым средним значением, используя стандартную технику границ Черноффа. Это даст оценку вида

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$ для соответствующих

a

$a$ и

b

$b$ при условии, что

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$ что имеет смысл, если подумать, каково среднее значение квадрата евклидова расстояния. Надеюсь, что это помогает некоторым.

— кардинал

1

$d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Я дам полную версию решения кардинала.

$X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Напомним, что и что $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Таким образом, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ вычисление

Пусть $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Я закончу это завтра, но вы можете видеть, что эта переменная имеет среднее значение около , в то время как у менее чем доли точек есть расстояния меньше половины максимального расстояния $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Майкл К
источник

0

Если все следуют за независимыми дискретными униформами над , то, поскольку есть значений для выбора и их среднее значение равно 0, мы имеем для всех : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ и

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Тогда, если является квадратом евклидовой нормы вектора , и из-за независимости : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

С этого момента вы можете использовать неравенство Маркова: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Эта граница увеличивается с , что является нормальным, потому что когда становится больше, евклидова норма становится больше по сравнению с фиксированным порогом . $d$ $d$ $a$

Теперь, если вы определите как «нормализованную» квадратную норму (которая имеет одно и то же ожидаемое значение независимо от того, насколько велика ), вы получите: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

По крайней мере, эта граница не возрастает с , но она все еще далека от решения вашего стремления к экспоненциально убывающей границе! Интересно, может ли это быть из-за слабости неравенства Маркова ... $d$

Я думаю, вы должны уточнить свой вопрос, потому что, как указано выше, средняя евклидова норма ваших векторов линейно возрастает в , поэтому вы вряд ли найдете верхнюю границу для которая уменьшается в с фиксированным порогом . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— jubo
источник