Сравнение AIC модели и ее лог-преобразованной версии

Суть моего вопроса заключается в следующем:

Пусть $Y \in \mathbb{R}^n$ быть многомерной нормальной случайной величиной со средним и ковариационной матрицей . Пусть , то есть . Как сравнить AIC модели, подходящей для наблюдаемых реализаций с моделью, подходящей для наблюдаемых реализаций Z ?$\mu$$\Sigma$$Z := \log(Y)$$Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$$Y$$Z$

---

---

Мой начальный и чуть более длинный вопрос:

Пусть $Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$ - многомерная нормальная случайная величина. Если я хочу сравнить модель, подходящую для $Y$ с моделью, подходящей для $\log(Y)$ , я мог бы взглянуть на их лог-вероятности. Однако, поскольку эти модели не являются вложенными, я не могу сравнивать правдоподобие правдоподобия (и тому подобное, например, AIC и т. Д.), Но мне нужно их преобразовать.

Я знаю, что если $X_1,\ldots,X_n$ являются случайными переменными с совместным pdf $g(x_1,\ldots,x_n)$ и если $Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$ для взаимно-однозначных преобразований $t_i$ и $i \in \{1,\ldots,n\}$ , затем pdf-файл $Y_1,\ldots,Y_n$ задается как

$$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ где $J$ - якобиан, связанный с преобразованием.

Нужно ли просто использовать правило преобразования для сравнения

$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ до $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$

или я могу что-то еще сделать?

---

[править] Забыл поместить логарифмы в двух последних выражениях.

Вы не можете сравнить AIC или BIC при установке двух различных наборов данных , то есть и . Вы можете сравнивать только две модели, основанные на AIC или BIC, только при подгонке к одному и тому же набору данных. Взгляните на выбор модели и вывод на основе нескольких моделей: практический информационно-теоретический подход (Burnham and Anderson, 2004). Они упомянули мой ответ на странице 81 (раздел 2.11.3 Преобразования переменной ответа):$Y$$Z$

Исследователи должны быть уверены, что все гипотезы смоделированы с использованием одной и той же переменной ответа (например, если бы весь набор моделей основывался на log (y), проблем не возникло бы; это неверное смешивание переменных ответа).

И, между прочим, для использования критериев AIC или BIC ваши модели не обязательно должны быть вложенными (то же самое, стр. 88, раздел 2.12.4 Модели без вложенных данных), и на самом деле это одно из преимуществ использования BIC.

Akaike (1978, стр. 224) описывает, как AIC может быть скорректирована в присутствии преобразованной исходной переменной для обеспечения возможности сравнения моделей. Он заявляет: «Эффект преобразования переменной представлен просто умножением вероятности на соответствующий якобиан в AIC ... для случая оно равно −2 , где суммирование распространяется на ».$log\{y(n)+1\}$$\cdot \sum log\{y(n)+1\}$$n = 1,2, ..., N$

Akaike, H. 1978. «О вероятности модели временных рядов», Журнал Королевского статистического общества, Серия D (The Statistician), 27 (3/4), с. 217–235.