Дисперсия произведения k коррелированных случайных величин

Какова дисперсия произведения коррелированных случайных величин? $k$

variance random-variable

Ответы:

Больше информации по этой теме, чем вам, вероятно, требуется, можно найти в Goodman (1962): «Дисперсия произведения из K случайных величин » , который выводит формулы как для независимых случайных величин, так и для потенциально коррелированных случайных величин, а также некоторые приближения. В более ранней статье ( Goodman, 1960 ) была получена формула для произведения ровно двух случайных переменных, которая несколько проще (хотя и довольно грубая), так что, возможно, лучше начать ее, если вы хотите понять вывод ,

Для полноты, однако, это идет так.

Две переменные

Предположим следующее:

$x$ и две случайные величины $y$
$X$ и - их (ненулевые) ожидания $Y$
$V(x)$ и - их дисперсии $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (и аналогично для ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (и аналогично для ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ - квадрат коэффициента вариации: (аналогично для ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

Тогда: или эквивалентно:

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

Более двух переменных

В статье 1960 года предполагается, что это упражнение для читателя (что, по-видимому, мотивировало статью 1962 года!).

Обозначения похожи, с несколькими расширениями:

$(x_1, x_2, \ldots x_n)$ случайные величины вместо и $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ = 0, 1 или 2 для $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = количество в $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = количество 2 в $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ для и для , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ указывает суммирование наборов где $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

Тогда, наконец-то:

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

Смотрите документы для деталей и чуть более подходящих приближений!

— Мэтт Краузе
источник

Обратите внимание, что приведенный выше ответ от Мэтта Краузе содержит ошибку, а также сам документ. В определении функции C (s1, ..., sk) это должно быть произведение, а не сумма.

— Николас Гислер

Не могли бы вы уточнить немного больше? «Потому что я - анонимный человек из Интернета - так и скажи», на самом деле это не ответ ...

— Тим

Если вы попытаетесь получить дисперсию var (x * y) для независимых случайных величин, то по формуле для произвольного k вы увидите, что только продукт, а не сумма дает вам правильный ответ. Кроме того, если вы посмотрите на бумагу, то сможете увидеть и ее, на странице 59 статьи (по крайней мере, в моей версии) он использовал продукт вместо суммы.

— Николас Гислер

Для случая двух случайных величин в этом ответе @macro можно найти более легкую для чтения формулу для дисперсии произведения двух коррелированных случайных величин . Этот ответ также указывает на существенную проблему в есть чаща обозначений скрывает существенный факт, что в нем есть термины, значение которых невозможно определить, если мы не знаем cov или достаточно о совместной плотности двух случайных величин, чтобы определить эту величину.

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

— Дилип Сарватэ

Предложение по редактированию, которое действительно должно было быть комментарием, предполагало, что оригинальный документ содержал опечатку, в которой были перепутаны сумма и произведение, и этот ответ должен быть исправлен. См. Stats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— Серебряная

Просто чтобы добавить к удивительному ответу Мэтта Краузе (на самом деле его легко получить). Если x, y независимы, то

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— Ананда
источник

Результат для случая независимых случайных величин обсуждался здесь .

n

$n$

— Дилип Сарватэ

В дополнение к общей формуле, данной Мэттом, стоит отметить, что существует несколько более явная формула для гауссовских случайных величин с нулевым средним. Это следует из теоремы Иссерлиса , см. Также высшие моменты для центрированного многомерного нормального распределения.

Предположим, что следует многомерному нормальному распределению со средним 0 и ковариационной матрицей . Если число переменных нечетное, и где означает сумму по всем разбиениям на непересекающихся пар причем каждый член является произведением соответствующих и где $(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$ - ковариационная матрица для . Если четное, то В случае получаем Если мы получаем где в сумме 15 членов.

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\prod_{i} x_{i}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j} - {(\sum \prod Σ_{i, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = \sum Σ_{i, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

Фактически возможно реализовать общую формулу. Самая сложная часть - это вычисление требуемых разделов. В R это можно сделать с помощью функции setpartsиз пакета partitions. Используя этот пакет, можно было без проблем сгенерировать 2 027 025 разделов для , 34 459 425 разделов для , но не 654 729 075 разделов для (на моем ноутбуке объемом 16 ГБ). $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

Пара других вещей стоит отметить. Во-первых, для гауссовых переменных с ненулевым средним должно быть возможно вывести выражение также из теоремы Иссерлиса. Во-вторых, неясно (для меня), является ли приведенная выше формула устойчивой к отклонениям от нормальности, то есть может ли она использоваться в качестве приближения, даже если переменные не являются многомерными нормально распределенными. В-третьих, хотя вышеприведенные формулы верны, сомнительно, насколько дисперсия говорит о распределении продуктов. Даже при распределение продукта является довольно лептокуртическим, а при больших оно быстро становится чрезвычайно лептокуртическим. $k = 2$ $k$

— NRH
источник

Аккуратный подход! Для чего это стоит, формула в моем ответе также имеет комбинаторное увеличение: суммирование по C включает суммирование членов.

O (3^{k})

$O(3^k)$

— Мэтт Краузе