Тест Вальда для логистической регрессии

Насколько я понимаю, критерий Вальда в контексте логистической регрессии используется для определения значимости определенной предикторной переменной или нет. Он отвергает нулевую гипотезу о том, что соответствующий коэффициент равен нулю.$X$

Тест состоит из деления значения коэффициента на стандартную ошибку .$\sigma$

Что меня смущает, так это то, что также известен как Z-оценка и указывает, насколько вероятно, что данное наблюдение приходит из нормального распределения (со средним нулем).$X/\sigma$

Оценки коэффициентов и перехватов в логистической регрессии (и любой GLM) находятся с помощью оценки максимального правдоподобия (MLE). Эти оценки обозначены с шляпой над параметрами, что - то вроде & thetas . Наш интересующий параметр обозначен θ 0, и обычно это 0, поскольку мы хотим проверить, отличается ли коэффициент от 0 или нет. Из асимптотической теории ОМП, мы знаем , что разница между & thetas и θ 0 будет приблизительно нормально распределены со средним 0 (подробности можно найти в любой математической статистике книги , такие как Ларри Вассермана все из статистики ). Напомним, что стандартные ошибки не что иное, как$\hat{\theta}$$\theta_{0}$$\hat{\theta}$$\theta_{0}$Стандартные отклонения статистики (Сокал и Рольф пишут в своей книге « Биометрия» : « статистика - это любая из многих вычисленных или оцененных статистических величин», например, среднее значение, медиана, стандартное отклонение, коэффициент корреляции, коэффициент регрессии, ...). Разделив нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением его стандартное отклонение будет давать стандартное нормальное распределение со средним 0 и стандартное отклонение 1. Wald статистики определяется как (например , Вассермана (2006): Все статистики , страницы 153, 214 -215): W = ( β - β 0$\sigma$ или W2=(β-β0)

$$W=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$ Вторая форма вытекает из того фактачто квадрат стандартного нормального распределения являетсяχ21-распределение с 1 степенью свободы (сумма двух квадратов стандартных нормальные распределения будетχ22-распределение с 2 степенями свободы и тд). $$W^{2}=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})^2}{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\beta})}\sim \chi^{2}_{1}$$ $\chi^{2}_{1}$$\chi^{2}_{2}$

$\beta_{0}=0$

$$W=\frac{\hat{\beta}}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$

---

$z$$t$

$z$$t$$z$$p$$t$$z$$\operatorname{Var}[\hat{\beta}|X]=\sigma^2(X'X)^{-1}$$\sigma^2$$X$$\sigma^2$$\hat{\sigma}^{2}=s^2$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta_{j}})=\sqrt{s^2(X'X)_{jj}^{-1}}$$t$$t$

$Y\sim Bin(n, p)$$E(Y)=np$$\operatorname{Var}(Y)=np(1-p)$$\phi$$\phi=1$$\phi<1$$\phi>1$$z$$t$$p$-ценности. В R, посмотрите на этих двух примерах:

Логистическая регрессия

mydata <- read.csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv")

mydata$rank <- factor(mydata$rank)

my.mod <- glm(admit ~ gre + gpa + rank, data = mydata, family = "binomial")

summary(my.mod)

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -3.989979   1.139951  -3.500 0.000465 ***
gre          0.002264   0.001094   2.070 0.038465 *  
gpa          0.804038   0.331819   2.423 0.015388 *  
rank2       -0.675443   0.316490  -2.134 0.032829 *  
rank3       -1.340204   0.345306  -3.881 0.000104 ***
rank4       -1.551464   0.417832  -3.713 0.000205 ***
   ---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

$z$

---

Нормальная линейная регрессия (OLS)

summary(lm(Fertility~., data=swiss))

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      66.91518   10.70604   6.250 1.91e-07 ***
Agriculture      -0.17211    0.07030  -2.448  0.01873 *  
Examination      -0.25801    0.25388  -1.016  0.31546    
Education        -0.87094    0.18303  -4.758 2.43e-05 ***
Catholic          0.10412    0.03526   2.953  0.00519 ** 
Infant.Mortality  1.07705    0.38172   2.822  0.00734 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.165 on 41 degrees of freedom

$t$$z$$t$

Еще один связанный пост можно найти здесь .