Ожидаемое количество дубликатов (трижды и т. Д.) При рисовании с заменой

У меня есть следующая проблема:

У меня есть 100 уникальных предметов (n), и я выбираю 43 (м) из них по одному (с заменой).

Мне нужно найти ожидаемое количество уникальных (только один раз выбрано, k = 1), двойных чисел (выбрано ровно дважды k = 2), тройных чисел (ровно k = 3), четырехугольников и т. Д.

Я смог найти множество результатов о вероятности наличия хотя бы одного двойного (парадокс дня рождения), но не об ожидаемом количестве пар в популяции.

probability expected-value birthday-paradox

— Кейтлин К
источник

Будет ли оценка Монте-Карло для вас полезной или вам нужен ответ в закрытой форме?

— Дэвид Дж. Харрис

Я бы предпочел формулу закрытой формы, чтобы я мог легко применить ее к различным значениям n, m и k.

— Кейтлин К

Iterm будет выбран раз. Из этого вы можете найти все нужные вам количества, потому что, например, Например, ожидаемое количество пар задается как $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Вы можете получить числовое значение в R с помощью команды n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Стефан Вейджер
источник

Можно ли использовать эту формулу для ak = 0 или 1?

— Кейтлин К

Да, оно может. С k = 0 вы можете интерпретировать это как «сколько точек не появится среди m выбранных».

— Стефан Вейджер

Но эти события не являются независимыми. Например, когда элемент 1 появляется m раз, другие элементы не могут появиться. Вы не можете просто сложить P.

— asterix314