Теорема Гаусса-Маркова: СИНИЙ и МНК

Я читаю теорему Гасса-Маркова о википедии и надеялся, что кто-нибудь сможет помочь мне понять суть этой теоремы.

Мы предполагаем, что линейная модель в матричной форме имеет вид: и мы ищем СИНИЙ, .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

В соответствии с этим я бы обозначил как "остаток", а как "ошибку". (Т. Е. Обратное использование на странице Гаусса-Маркова).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

Оценка OLS (обычных наименьших квадратов) может быть получена как аргумент .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Теперь пусть обозначает оператор ожидания. Насколько я понимаю, теорема Гаусса-Маркова говорит нам о том, что если и , то argmin по всем линейные, несмещенные оценки, задаются тем же выражением, что и МНК оценщик.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Т.е.

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Правильно ли мое понимание? И если так, скажете ли вы, что это заслуживает большего внимания в статье?

Я не уверен, правильно ли я понял ваш вопрос, но если вы хотите доказать, что OLS для СИНИЙ (лучший линейный объективный оценщик), вы должны доказать следующие две вещи: во-первых, что беспристрастен, и, во-вторых, является наименьшим из всех линейных несмещенных оценок.$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

Доказательство того, что оценщик OLS беспристрастен, можно найти здесь http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

и доказательство того, что является наименьшим среди всех линейных объективных оценок, можно найти здесь http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/$Var(\hat{\beta})$

Кажется, что моя догадка была действительно правильной, что подтверждается, например, на странице 375 книги « Вводная эконометрика» . Соответствующая выдержка: