Ковариационная матрица для гауссовского процесса и распределения Уишарта


11

Я читаю эту статью о обобщенных процессах Wishart (GWP). В статье вычисляются ковариации между различными случайными величинами (по гауссовскому процессу ) с использованием экспоненциальной ковариационной функции в квадрате, т. Е. . Затем говорится, что эта ковариационная матрица следует за GWP.K(x,x)=exp(|(xx)|22l2)

Раньше я думал, что ковариационная матрица, вычисленная из линейной ковариационной функции ( )K(x,x)=xTx , следует распределению Уишарта с соответствующими параметрами.

Мой вопрос заключается в том, как мы можем по-прежнему предполагать, что ковариация будет следовать распределению Уишарта с квадратной экспоненциальной функцией ковариации? Кроме того, в общем, что является необходимым условием для ковариационной функции для создания распределенной ковариационной матрицы Вишарта?

Ответы:


8

Что смешивается, так это ковариационная спецификация в терминах окружающего пространства, в котором определяется гауссовский процесс, и операция, которая преобразует конечномерную гауссовскую случайную переменную для получения распределения Уишарта.

Если является p- мерной гауссовой случайной величиной (вектор-столбец) со средним значением 0 и ковариационной матрицей Σ , то распределение W = X X T является распределением Уишарта W p ( Σ , 1 ) . Обратите внимание, что W - матрица p × p . Это общий результат о том, как квадратичная форма xx x TXN(0,Σ)pΣW=XXTWp(Σ,1)Wp×p

xxxT
преобразует гауссово распределение в распределение Уишарта. Он справедлив для любого выбора положительно определенной ковариационной матрицы . Если у вас есть iid наблюдения X 1 , , X n, то при W i = X i X T i распределение W 1 + + W n является W- распределением желаний W p ( Σ , n ) . Разделив на n, получим эмпирическую ковариационную матрицу - оценку ΣΣX1,,XnWi=XiXiT
W1++Wn
Wp(Σ,n)nΣ,

R(X(x))xR

X(x1,,xp):=(X(x1),,X(xp))TN(0,Σ(x1,,xp))
x1,,xpR
cov(X(xi),X(xj))=Σ(x1,,xp)i,j=K(xi,xj).
K
X(x1,,xp)X(x1,,xp)T
Wp(Σ(x1,,xp),1)

Спасибо за ответ. У меня есть несколько вопросов, рег. ваш ответ - Когда вы говорите, что преобразование, которое преобразует гауссовский dist в Wishart dist, имеет место для любого выбора + ve определенной матрицы cov, какой выбор diff у нас есть для этой матрицы cov? Кроме того, просто для пояснения - для матрицы cov, определяемой функцией cov, i и j указывают элементы в окружающем пространстве гауссовского процесса (например, если это временной процесс, моменты времени t_1 и t_2)?
stablefish

ijxixjΣ ΣΣ

xTx

@steadyfish, о, я вижу. На самом деле, я был неаккуратен с транспозициями и с тем, были ли векторы векторами строк или столбцов. Я уточнил это сейчас и добавил немного о связи между эмпирической ковариационной матрицей и теоретической ковариационной матрицей. Теоретическое не определено в терминах наблюдений.
NRH
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.