Дисперсия двух взвешенных случайных величин

Позволять:

Стандартное отклонение случайной величины$A =\sigma_{1}=5$

Стандартное отклонение случайной величины$B=\sigma_{2}=4$

Тогда дисперсия A + B равна:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Куда:

$p_{1,2}$ - корреляция между двумя случайными величинами.

$w_{1}$ - вес случайной величины A

$w_{2}$ - вес случайной величины B

$w_{1}+w_{2}=1$

На приведенном ниже рисунке показана дисперсия A и B при изменении веса A от 0 до 1 для корреляций -1 (желтый), 0 (синий) и 1 (красный).

Как формула привела к получению прямой линии (красного цвета), когда корреляция равна 1? Насколько я могу судить, когда , формула упрощается до:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Как я могу выразить это в виде ?$y=mx+c$

Спасибо.

Используя , вычислим$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Это показывает, что когда , график отклонения от (показан сбоку на иллюстрации) является параболой с центром в . Никакая часть любой параболы не является линейной. При и центр находится в : намного ниже графика в масштабе, в котором он нарисован. Таким образом, вы смотрите на маленький кусочек параболы, который будет казаться линейным.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Когда , дисперсия является линейной функцией от . В этом случае график будет идеально вертикальным отрезком.$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

Кстати, вы знали этот ответ уже без расчета, потому что базовые принципы подразумевают, что график отклонения не может быть линией, если он не вертикальный. В конце концов, нет математического или статистического запрета на ограничение между и : любое значение определяет новую случайную переменную (линейную комбинацию случайных величин A и B) и поэтому должно иметь неотрицательное значение за его дисперсию. Поэтому все эти кривые (даже если они расширены до полного вертикального диапазона ) должны находиться справа от вертикальной оси. Это исключает все линии, кроме вертикальных.$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

График дисперсии для :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Это не линейно. Формула говорит, что это не линейно. Доверься своему математическому инстинкту!

Он отображается только линейно на графике из-за масштаба, с и . Попробуйте сами: подсчитайте уклоны в нескольких местах, и вы увидите, что они различаются. Вы можете преувеличить разницу, выбрав , скажем, .$\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Вот некоторый код R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Если вы хотите проверить некоторые склоны:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1