Тесты эквивалентности для ненормальных данных?

У меня есть некоторые данные, которые я не могу предположить извлечь из нормальных распределений, и я хотел бы провести тесты эквивалентности между группами. Для обычных данных существуют такие методы, как TOST (два односторонних t-теста). Есть ли что-нибудь аналогичное TOST для ненормальных данных?

Логика TOST, используемая для статистики t и z тестов типа Вальда (т.е. $\theta / s_{\theta}$ и $\theta / \sigma_{\theta}$ соответственно), может быть применена к аппроксимациям z для непараметрических тестов, таких как тесты по знаку, рангу знака и сумме рангов. Для простоты я предполагаю, что эквивалентность выражается симметрично с одним термином, но расширить мой ответ на асимметричные термины эквивалентности просто.

При этом возникает одна проблема: если человек привык выражать член эквивалентности (скажем, $\Delta$ ) в тех же единицах, что и $\theta$ , то член эквивалентности должен быть выражен в единицах конкретного знака, ранга со знаком или ранга сумма статистика, которая является как заумной, и в зависимости от N .

Однако можно также выразить термины эквивалентности TOST в единицах самой статистики теста. Считаем, что в TOST, если $z = \theta/\sigma_{\theta}$ , то $z_{1} = (\Delta - \theta)/\sigma_{\theta}$ и $z_{2} = (\theta + \Delta)/\sigma_{\theta}$ . Если мы примем $\varepsilon = \Delta / \sigma_{\theta}$ , то $z_{1} = \varepsilon - z$ и $z_{2} = z + \varepsilon$ . (Статистические данные, представленные здесь, оцениваются вправомхвосте:$p_{1} = \text{P}(Z > z_{1})$ и$p_{2} = \text{P}(Z > z_{2})$ .) Использование единицраспределенияzдля определения порога эквивалентности / релевантности может быть предпочтительным для непараметрических тестов, поскольку альтернатива определяет порог в единицах знаковых рангов или ранговых сумм, который может быть практически бессмысленным для исследователей и трудным для интерпретации.

Если мы признаем, что (для симметричных интервалов эквивалентности) невозможно отвергнуть любую нулевую гипотезу TOST, когда $\varepsilon \le z_{1-\alpha}$ , то мы можем приступить к принятию решений относительно соответствующего размера члена эквивалентности соответственно. Например, $\varepsilon = z_{1-\alpha} + 0.5$ .

Этот подход был реализован с опциями для исправления непрерывности и т. Д. В пакете tost для Stata (который теперь включает в себя конкретные реализации TOST для тестов Shapiro-Wilk и Shapiro-Francia), к которым вы можете получить доступ, набрав в Stata:

Изменить: Почему логика TOST является здравым, и тестовые схемы эквивалентности были применены к сводным тестам, я был убежден, что мое решение было основано на глубоком непонимании приблизительной статистики для тестов Шапиро-Вилка и Шапиро-Франсии

Это не TOST как таковой, но тест Комолгорова-Смирнова позволяет проверить значимость разницы между распределением выборки и вторым эталонным распределением, которое вы можете указать. Вы можете использовать этот тест, чтобы исключить конкретный тип другого распределения, но не других распределений в целом (по крайней мере, не без учета увеличения ошибок в тестах всех возможных альтернатив ... если это как-то возможно само). Альтернативная гипотеза для любого одного теста, как обычно, останется менее конкретной гипотезой «всеохватывающего».

Если вы можете согласиться с тестом распределительных различий между двумя группами, где нулевая гипотеза состоит в том, что две группы распределены одинаково, вы можете использовать тест Комолгорова-Смирнова для сравнения распределения одной группы с распределением другой группы. Вероятно, это обычный подход: игнорировать различия, если они не являются статистически значимыми, и обосновать это решение тестовой статистикой.

В любом случае, вы можете рассмотреть некоторые более глубокие вопросы, возникающие из подхода «все или ничего» к отклонению нулевой гипотезы. Одна из таких проблем очень популярна здесь, на Cross Validated: « Является ли тестирование нормальности« по существу бесполезным »? » Люди любят отвечать на вопросы о тестировании нормальности с вопросом: «Почему вы хотите это проверить?» Предполагается, что намерение, как правило, состоит в том, чтобы аннулировать причину тестирования, что в конечном итоге может привести в правильном направлении. Суть полезных ответов на вопрос, который я здесь связал, выглядит следующим образом:

1. Если вы обеспокоены нарушениями параметрических тестовых допущений, вам следует просто найти непараметрический тест, который не делает вместо этого допущения о распределении. Не проверяйте, нужно ли вам использовать непараметрический критерий; просто используйте это!
2. Вам следует заменить вопрос «Является ли мой дистрибутив значительно ненормальным?» с "Насколько ненормально мое распределение, и как это может повлиять на мой анализ интереса?" Например, тесты, касающиеся центральной тенденции (особенно вовлекающие средства), могут быть более чувствительными к асимметрии, чем к эксцессу, и наоборот, для тестов относительно (со) дисперсии. Тем не менее, существуют надежные альтернативы для большинства аналитических целей, которые не очень чувствительны к любому из видов ненормальности.

Если вы все еще хотите пройти тест на эквивалентность, вот еще одна популярная дискуссия о перекрестной проверке, которая включает тестирование на эквивалентность.

$\mathcal{H}_0: f_x \ne f_y$$\mathcal{H}_1: f_x = f_y$$\mathcal{H}_0$$f_x \sim \mathcal{N}(0, 1)$$\hat{f}_x$$\hat{f}_y$$X=Y$$f_y \approx f_x$

$\mathcal{H}_0$$\mathcal{H}_1$

set.seed(123)
p <- replicate(1000, { ## generate data under the null
  x <- rnorm(100)
  g <- sample(0:1, 100, replace=T)
  BIC(lm(x~1)) > BIC(lm(x~g))
})
mean(p)

дает

> mean(p)
[1] 0.034

$p$

С другой стороны, если мы возьмем:

set.seed(123)
p <- replicate(1000, { ## generate data under the null
  x <- rnorm(100)
  g <- sample(0:1, 100, replace=T)
  x <- x + 0.4*g
  BIC(lm(x~1)) > BIC(lm(x~g))
})
mean(p)

дает:

> mean(p)
[1] 0.437

Как и в случае с NHST, существуют тонкие проблемы мощности и ложноположительных ошибок, которые следует изучить при моделировании, прежде чем делать окончательные выводы.

Я думаю, что схожий (возможно, более общий метод) использует байесовскую статистику для сравнения апостериорной оценки любой вероятностной модели.