Дисперсия произведения нескольких случайных величин

Мы знаем ответ для двух независимых переменных:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Однако, если мы возьмем произведение более двух переменных, , каким будет ответ с точки зрения отклонений и ожидаемых значений каждой переменной? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— DAMLA
источник

Поскольку является случайной величиной и (при условии, что все независимы), она не зависит от , ответ получается индуктивно: ничего нового не требуется. Чтобы это не казалось слишком загадочным, метод не отличается от указания на то, что, поскольку вы можете добавить два числа с помощью калькулятора, вы можете добавить чисел с помощью одного и того же калькулятора путем повторного добавления.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Не могли бы вы выписать доказательство вашего отображенного уравнения? Мне любопытно узнать, что случилось с который должен дать вам несколько терминов, связанных с .

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Дилип Сарватэ

@DilipSarwate, я подозреваю, что этот вопрос молчаливо предполагает, что и независимы. Формула ОП правильна, когда оба некоррелированы, а некоррелированы. Смотрите мой ответ на связанный вопрос здесь .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Макро

@ Макро Я хорошо осведомлен о том, что вы подняли. То, что я пытался заставить ОП понять и / или выяснить для себя, было то, что для независимых случайных величин так же, как упрощается до упрощается до которые Я думаю, что это более прямой способ достижения конечного результата, чем индуктивный метод, который указал Уабер.

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— Дилип Сарватэ

@DilipSarwate, хорошо. Я предлагаю вам опубликовать это в качестве ответа, чтобы я мог проголосовать за него!

— Макро

Я буду считать , что случайные величины являются независимыми , что условие ОП имеет не включен в постановке задачи. С этим предположением мы имеем Если первое слагаемое, указанное выше, умножено, один из слагаемые в разложении исключают второй член произведения выше, поэтому для случая $X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$ У нас есть результат, заявленный ОП. Как указывает @Macro, для нам не нужно предполагать, что и независимы: более слабое условие, что и некоррелированы, а и также некоррелированы, также достаточно. Но для , отсутствие корреляции недостаточно. Независимости хватает, но не нужно. Требуется факторизация ожиданий продуктов, показанных выше, в продукты ожиданий, гарантированные независимостью.

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Дилип Сарватэ
источник

большое спасибо! Я очень ценю это. Да, вопрос был для независимых случайных величин.

— Дамла

Можно ли сделать то же самое для зависимых переменных? Я пытаюсь выяснить, что произойдет с дисперсией, если ? Можем ли мы вывести формулу дисперсии с точки зрения дисперсии и ожидаемого значения X?

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

— Дамла

Я разместил вопрос на новой странице. Большое спасибо! stats.stackexchange.com/questions/53380/...

— DAMLA

Дилип, есть ли обобщение на произвольное число переменных, которые не являются независимыми? (Это другой вопрос, чем тот, который задал Дамла в своем новом вопросе, касающемся дисперсии произвольных степеней одной переменной.)

n

$n$

— Алексис

@Alexis Насколько мне известно, нет никакого обобщения на независимые случайные величины, даже, как уже указывалось, для случая случайных величин.

3

$3$

— Дилип Сарвейт