Объединение двух ковариационных матриц

Я вычисляю ковариацию распределения параллельно, и мне нужно объединить распределенные результаты в единственном гауссовском. Как мне совместить два?

Линейная интерполяция между двумя почти работами, если они одинаково распределены и измерены.

В Википедии внизу есть форумла для комбинации, но она кажется неправильной; два одинаково распределенных распределения должны иметь одинаковую ковариацию, но формула внизу страницы удваивает ковариацию.

Есть ли способ объединить две матрицы?

covariance moments

— Мэтт Кемп
источник

Формула Википедии отвечает на ваш вопрос, Мэтт: вы, возможно, не заметили, что это частичная формула, после которой вам нужно разделить размер выборки.

— whuber

Я понял это сейчас, с вашей помощью - если вы включите это в ответ, я отмечу это как ответ.

— Мэтт Кемп

Этот вопрос часто возникает в разных ипостасях. Что для них общего

Как я могу объединить статистику на основе моментов, которая была вычислена из непересекающихся подмножеств моих данных?

Самое простое приложение касается данных, которые были разделены на две группы. Вы знаете размеры группы и групповые средства. С точки зрения только этих четырех величин, каково общее значение данных?

Другие приложения обобщают от среднего значения до дисперсии, стандартных отклонений, ковариационных матриц, асимметрии и многомерной статистики; и может включать несколько подгрупп данных. Обратите внимание, что многие из этих величин представляют собой несколько сложные комбинации моментов: например, стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из квадратичной комбинации первого и второго моментов (среднего и среднего квадрата).

Все такие случаи легко обрабатываются путем уменьшения различных моментов до сумм, потому что суммы очевидно и легко объединяются: они складываются. Математически все сводится к следующему: у вас есть пакет данных , которые были разделены на непересекающиеся группы размеров : $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $j_1, j_2, \ldots, j_g$ . Назовем ю группу $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$ $i$ . По определению,ймоментлюбой партии данныхявляется средним значениемй степени, $X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$ $k$ $y_1, \ldots, y_j$ $k$

μ_{k} (y) = (y_{1}^{k} + y_{2}^{k} + \dots + y_{j}^{k}) / j .

$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$

$j \mu_k(y)$ $k$ $g$ $n$

\begin{aligned} n μ_{k} (X) & = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = (x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \dots + x_{j_{1}}^{k}) + \dots + (x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 1}^{k} + x_{j_{1} + \dots + j_{g - 1} + 2}^{k} + \dots + x_{n}^{k}) \\ = j_{1} μ_{k} (X_{(1)}) + j_{2} μ_{k} (X_{(2)}) + \dots + j_{g} μ_{k} (X_{(g)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$

$n$ $k$ $k$

$x$ $y$

((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})),

$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$

$g$ $x_iy_i$ $(1,1)$ $\mu_{(1,1)}$ $n$

$n-1$ $n$ $n-1$ $j_i-1$ $n$ $j_i$

$n$

— Whuber
источник

Я немного запутался в определении k-го момента. Вы предполагаете данные с нулевым средним?

— Решу

k^{th}

$k^\text{th}$

Плохо может! Я смешивал «центральные» и «сырые» моменты. Спасибо за разъяснение!

— Решу

Я думаю, что «знать средства размеров подгрупп» в предпоследнем абзаце следует читать «знать средства подгрупп» вместо этого? (Я не решаюсь отредактировать это самостоятельно, так как не удосужился внимательно изучить ответ)

— Юхо Коккала

@Juho Вы совершенно правы. Спасибо, что заметили это!

— whuber