Размер теста и уровень значимости

В чем разница между ними и почему уровень значимости должен быть всегда выше или равен размеру теста?

Предположим, у вас есть случайная выборка $X_1,\dots,X_n$ из распределения, которое включает параметр $\theta$ который принимает значения в пространстве параметров $\Theta$ . Вы делите пространство параметров как $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$ , и вы хотите проверить гипотезы

$$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$$ $$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$$ которые называютсянулевойиальтернативнойгипотезами соответственно.

Обозначим через $\mathscr{X}$ выборочное пространство всех возможных значений случайного вектора $X=(X_1,\dots,X_n)$ . Ваша цель в построении тестовой процедуры состоит в том, чтобы разделить это примерное пространство $\mathscr{X}$ на две части: критическую область $\mathscr{C}$ , содержащую значения $X$ для которых вы отклоните нулевую гипотезу $H_0$ (и, таким образом, примете альтернативу $H_1$ ), и область принятия $\mathscr{A}$ , содержащая значения $X$ для которых вы не отклоните нулевую гипотезу$H_0$ (и, следовательно, отклонить альтернативу$H_1$ ).

Формально тестовая процедура может быть описана как измеримая функция $\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$ с очевидной интерпретацией в терминах решений, принятых в пользу каждой из гипотез. Критическая область - $\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$ , а область принятия - $\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$ .

Для каждой процедуры испытаний $\varphi$ мы определим его функцию мощности $\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$ по

$$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$$ Словом,$\pi_\varphi(\theta)$ дает вам вероятность отклонения$H_0$ когда значение параметра равно$\theta$ .

Решение отклонить $H_0$ когда $\theta\in\Theta_0$ , неверно . Таким образом, для данной проблемы вы можете рассмотреть только те тестовые процедуры $\varphi$ для которых $\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$ , для каждого $\theta\in\Theta_0$ , в которых $\alpha$ - это некоторый уровень значимости ( $0<\alpha<1$ ). Обратите внимание, что уровень значимости является свойством класса тестовых процедур. Мы можем описать этот класс точно как

$$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$$

Для каждой отдельной процедуры испытания $\varphi$ , максимальная вероятность $\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$ от ошибочно отклонения $H_0$ называется размером процедура испытания $\varphi$ .

Из этих определений непосредственно следует, что, как только мы установим уровень значимости $\alpha$ и, следовательно, определим класс $\mathscr{T}_{\alpha}$ приемлемых процедур испытаний, каждая процедура испытаний $\varphi$ в этом классе будет иметь размер $\alpha_\varphi\leq\alpha$ , и наоборот. Кратко, $\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$ тогда и только тогда, когда $\alpha_\varphi\leq\alpha$ .