Как мне мысленно разобраться с парадоксом Бореля?

Мне немного неловко от того, как я мысленно справился с парадоксом Бореля и другими связанными с ним «парадоксами», связанными с условной вероятностью. Для тех, кто читает это, кто не знаком с этим, посмотрите эту ссылку . Мой ментальный ответ до этого момента был в основном игнорировать это, потому что никто, кажется, не говорит об этом, но я чувствую, что должен исправить это.

Мы знаем, что этот парадокс существует, и все же кажется, что на практике (как крайний пример, байесовский анализ) мы прекрасно справляемся с условиями событий ; если - мои данные, мы постоянно определяем , даже если это событие меры когда $0$ $X$ $X = x$ $0$ $X$ непрерывно. И мы, конечно же, не прилагаем никаких усилий, чтобы построить последовательность событий, сходящихся к событию, которое мы наблюдали, чтобы разрешить парадокс, по крайней мере, явно.

Я думаю, что это нормально, потому что мы по существу зафиксировали случайную величину (в принципе) перед экспериментом, и поэтому мы обусловливаем . То есть, является естественной алгеброй, на которую нужно поставить условие, потому что информация будет использоваться через - если бы она пришла к нам каким-либо другим способом, мы бы поставили условие на другую алгебру. Парадокс Бореля возникает потому, что (я полагаю) не очевидно, на какую подходящую алгебру накладывать условия, но Байесовский указал $X$ $\sigma(X)$ $\sigma(X)$ $\sigma$ $X = x$ $X$ $\sigma$ $\sigma$ . Поскольку мы априори указываем, что информация пришла к нампосредством измерения мы находимся в открытом виде. Как только мы определили алгебру, все в порядке; мы строим наше условное ожидание, используя Радона-Никодима, и все уникально, вплоть до нулевых множеств. $\sigma(X)$ $X = x$ $X$ $\sigma$

Это по существу правильно, или я далеко? Если я далеко, то , что это оправдание для себя , как мы делаем? [Учитывая характер вопросов и ответов на этом сайте, расценивайте это как мой вопрос.] Когда я принял теоретико-меру вероятности, мы по какой-то причине, которую я не понимаю, даже не коснулись условного ожидания. В результате я переживаю, что мои идеи очень запутаны.

probability conditional-probability conditional-expectation

— парень
источник

Когда я взял свою теоретико-меру вероятности, мы по какой-то причине, которую я не понимаю, даже не коснулись условного ожидания. Вау. Я заинтересован в этом небольшом фрагменте. Какой текст вы использовали? Как вы проходили курс с таким названием и никогда не смотрели на мартингалы, цепочки Маркова или ряд других «стандартных» тем?

— кардинал

Я думаю, что «общая картина» за этим ответом дает хотя бы частичный ответ на настоящие вопросы. :)

— кардинал

@cardinal Мы не использовали учебник, мы использовали примечания инструктора. Преподаватель всю свою исследовательскую карьеру проводил, доказывая законы больших чисел для банаховых пространственных случайных элементов, и, очевидно, в таких вещах не нуждался. В результате он не учил их. Мы изучили темы, которые он нашел важными для своей работы. Другой профессор, который учил вероятности, использовал Биллингсли и не был таким близоруким. Я понял, что знаю, читая Биллингсли в свое время.

— парень

Спасибо за потакание мне и (+1) на ваш вопрос. Между прочим, Биллингсли - замечательный справочный текст, но, должно быть, он немного разочаровал как выбор класса и самостоятельного изучения, хотя бы по какой-то другой причине, кроме организации. Возможно, вас заинтересует « Вероятность Д. Уильямса с Мартингейлом», если вы хотите короткого компаньона, который придает явно большое значение условному ожиданию. Приветствия. :-)

— кардинал

Как байесовец, я бы сказал, что парадокс Бореля не имеет (или очень мало) общего с байесовской статистикой. Разумеется, что в байесовской статистике используются условные распределения. Тот факт, что нет никакого парадокса в определении апостериорного распределения как условного на множестве нулевой меры состоит в том, что выбран не заранее, а как результат наблюдения. Таким образом, если мы хотим использовать экзотические определения для условных распределений на множествах нулевой меры, существует нулевая вероятность того, что эти множества будут содержать $\{X=x\}$ $x$ $x$ что мы будем наблюдать в конце. Условное распределение определяется однозначно почти повсеместно и, следовательно, почти наверняка по нашему наблюдению. Это также означает (великую) цитату А. Колмогорова в в Википедии.

Местом в байесовском анализе, где теоретико-мерные тонкости могут превратиться в парадокс, является представление Байеса фактора Сэвиджа-Дики, поскольку оно зависит от конкретной версии предыдущей плотности (как обсуждалось в нашей статье по теме ...)

— Сиань
источник