Могу ли я преобразовать ковариационную матрицу в неопределенности для переменных?

У меня есть блок GPS, который выводит измерение шума через ковариационную матрицу $\Sigma$ :

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(там же $t$ участие , но давайте игнорировать , что ни на секунду.)

Предположим, я хочу сказать кому-то еще, что точность в каждом направлении ( $x,y,z$ ) является некоторым числом. $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ . То есть мой GPS может дать мне показание $x=\bar{x}\pm\mu_x$ и т. Д. Я понимаю, что $\mu$ в этом случае подразумевает, что все измеряемые величины не зависят друг от друга (т. Е. Ковариационная матрица диагональна). Кроме того, найти векторную ошибку так же просто, как добавить ошибки в квадратуре (квадратный корень из суммы квадратов).

Что произойдет, если моя ковариационная матрица не будет диагональной? Существует ли простое число которое охватывает эффекты направлений y и z ? Как я могу найти это, учитывая ковариационную матрицу?$\mu_x^*$$y$$z$

Не существует единого числа, охватывающего всю ковариационную информацию - есть 6 частей информации, поэтому вам всегда нужно 6 чисел.

Однако есть ряд вещей, которые вы могли бы рассмотреть.

Во-первых, ошибка (дисперсия) в любом конкретном направлении определяется как$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Где - единичный вектор в интересующем направлении.$\mathbf{e}_i$

Теперь, если вы посмотрите на это для ваших трех основных координат то вы можете увидеть, что:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Таким образом, ошибка в каждом из рассматриваемых направлений определяется диагональю ковариационной матрицы. Это имеет смысл интуитивно - если я рассматриваю только одно направление, то изменение только корреляции не должно иметь никакого значения.

Вы правильно заметили, что просто заявляете:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Не подразумевает никакой корреляции между этими тремя утверждениями - каждое утверждение само по себе совершенно правильно, но вместе взятая некоторая информация (корреляция) была отброшена.

Если вы будете проводить много измерений, каждое из которых будет иметь одинаковую корреляцию ошибок (предположим, что это исходит от измерительного оборудования), тогда одна изящная возможность - повернуть ваши координаты, чтобы диагонализировать вашу ковариационную матрицу. Затем вы можете представить ошибки в каждом из этих направлений в отдельности, поскольку теперь они не будут коррелированными.

Что касается принятия «векторной ошибки» путем добавления в квадратуру, я не уверен, что понимаю, что вы говорите. Эти три ошибки являются ошибками в разных количествах - они не отменяют друг друга, и поэтому я не вижу, как их можно сложить вместе. Вы имеете в виду ошибку на расстоянии?