Как проверить, равны ли наклоны в линейной модели фиксированному значению?

9

Предположим, у нас есть простая модель линейной регрессии и мы хотим проверить нулевую гипотезу против общей альтернативы. $Z = aX + bY$ $H_0: a=b=\frac{1}{2}$

Я думаю, что можно использовать оценку и и дополнительно применить тест, чтобы получить доверительный интервал вокруг . Это нормально? $\hat{a}$ $SE(\hat{a})$ $Z$ $\frac{1}{2}$

Другой вопрос тесно связан с этим. Предположим, что у нас есть образец и мы вычисляем статистику $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ $\chi^2$

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(z_{i} - \frac{x_{i} + y_{i}}{2})^{2}}{\frac{x_{i} + y_{i}}{2}} .

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$ Можно ли использовать эту статистику для проверки одной и той же нулевой гипотезы?

hypothesis-testing regression

— ЛВС
источник

8

В линейной регрессии предполагается, что и не являются случайными величинами. Поэтому модель $X$ $Y$

Z = a X + b Y + ϵ

$Z = a X + b Y + \epsilon$

алгебраически совпадает с

Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2}) X + (b - \frac{1}{2}) Y + ϵ = α X + β Y + ϵ .

$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$

Здесь и . Термин ошибки не затрагивается. Подгоните эту модель, оценивая коэффициенты как и соответственно, и протестируйте гипотезу обычным способом. $\alpha = a - \frac{1}{2}$ $\beta =b - \frac{1}{2}$ $\epsilon$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\alpha = \beta = 0$

Статистика, написанная в конце вопроса, не является статистикой хи-квадрат, несмотря на ее формальное сходство с статистикой. Статистика хи-квадрат включает счетчики , а не значения данных, и должна иметь ожидаемые значения в знаменателе, а не ковариат. Возможно, один или несколько знаменателей будут равны нулю (или близки к нему), показывая, что с этой формулировкой что-то серьезно не так. Если даже это не убедительно, учтите, что единицами измерения , и могут быть все что угодно (например, драм, парсек и пек), так что линейная комбинация, такая как (вообще) бессмысленно. Это ничего не проверяет. $\frac{x_i+y_i}{2}$ $Z$ $X$ $Y$ $z_i - (x_i+y_i)/2$

— Whuber
источник

1

Спасибо за Ваш ответ. Это было очень полезно. На самом деле, я не очень точно сформулировал вторую часть вопроса. Представьте, что xs и ys - положительные числа, измеренные в одинаковых единицах. Zs (наблюдаемый результат) каким-то образом измеряет «взаимодействие» в том смысле, что если нет взаимодействия, то zs должно быть (x + y) / 2 (ожидаемый результат). Так что, с моей точки зрения, было то же самое, что использовать регрессию с нулевой гипотезой a = b = 1/2 или сравнить достоверность соответствия, используя статистику Chi ^ 2 Пирсона. Есть ли в этом смысл? Спасибо!

— Лан

1

@Lan Я думаю, что ответ Вольфганга хорошо иллюстрирует, как сделать тест, который вы предлагаете. Это пример того, что подразумевается под проверкой гипотезы «обычным способом».

— whuber

9

$Z = aX + bY$ $SSE_f$ $Z - \hat{Z}$ $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$ $SSE_r$

Теперь вычислите:

$((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

$n$ $H_0$ $2$ $n-2$

Вот пример использования R:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

$\alpha$

$Z = aX + bY$ $Z = c + aX + bY$

— Wolfgang
источник