Возможно ли взаимодействие между двумя непрерывными переменными?

Все мои переменные являются непрерывными. Там нет уровней. Возможно ли даже иметь взаимодействие между переменными?

Да, почему бы и нет? В этом случае будет применяться то же соображение, что и для категориальных переменных: влияние на результат не одинаково в зависимости от значения . Чтобы помочь визуализировать это, вы можете думать о значениях, принятых когда принимает высокие или низкие значения. В отличие от категориальных переменных, здесь взаимодействие просто представлено произведением и . Следует отметить, что лучше сначала расположить две переменные по центру (чтобы коэффициент, скажем, читался как эффект когда находится в среднем по выборке).$X_1$$Y$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_1$$X_2$

Как любезно предложено @whuber, простой способ увидеть, как изменяется в зависимости от как функции когда включается член взаимодействия, - это записать модель .$X_1$$Y$$X_2$$\mathbb{E}(Y|X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$

Затем можно видеть, что эффект увеличения единицу, когда поддерживается постоянным, может быть выражен как:$X_1$$X_2$

Аналогично, эффект, когда увеличивается на одну единицу при константы равен . Это показывает, почему трудно интерпретировать эффекты ( ) и ( ) изолированно. Это будет даже сложнее, если оба предиктора сильно коррелируют. Также важно учитывать предположение о линейности, которое делается в такой линейной модели.$X_2$$X_1$$\beta_2+\beta_3X_1$$X_1$$\beta_1$$X_2$$\beta_2$

Вы можете взглянуть на Множественную регрессию: тестирование и интерпретацию взаимодействий Леоны С. Айкен, Стивена Г. Уэста и Рэймонда Р. Рено (Sage Publications, 1996), чтобы получить обзор различных видов эффектов взаимодействия в множественной регрессии. , (Возможно, это не самая лучшая книга, но она доступна через Google)

Вот игрушечный пример в R:

library(mvtnorm)
set.seed(101)
n <- 300                      # sample size
S <- matrix(c(1,.2,.8,0,.2,1,.6,0,.8,.6,1,-.2,0,0,-.2,1), 
            nr=4, byrow=TRUE) # cor matrix
X <- as.data.frame(rmvnorm(n, mean=rep(0, 4), sigma=S))
colnames(X) <- c("x1","x2","y","x1x2")
summary(lm(y~x1+x2+x1x2, data=X))
pairs(X)

где вывод фактически читает:

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.01050    0.01860  -0.565    0.573    
x1           0.71498    0.01999  35.758   <2e-16 ***
x2           0.43706    0.01969  22.201   <2e-16 ***
x1x2        -0.17626    0.01801  -9.789   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3206 on 296 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8828, Adjusted R-squared: 0.8816 
F-statistic: 743.2 on 3 and 296 DF,  p-value: < 2.2e-16 

А вот как выглядят смоделированные данные:

Чтобы проиллюстрировать второй комментарий @ whuber, вы всегда можете посмотреть на вариации как функцию от при различных значениях (например, терцили или децили); решетчатые дисплеи полезны в этом случае. С данными выше, мы будем действовать следующим образом:$Y$$X_2$$X_1$

library(Hmisc)
X$x1b <- cut2(X$x1, g=5) # consider 5 quantiles (60 obs. per group)
coplot(y~x2|x1b, data=X, panel = panel.smooth)