Как найти дисперсию между многомерными точками?

Предположим, у меня есть матрица X, которая равна n на p, т.е. она имеет n наблюдений, причем каждое наблюдение в p-мерном пространстве.

Как мне найти дисперсию этих n наблюдений?

В случае, когда р = 1, мне просто нужно использовать формулу регулярной дисперсии. Как насчет случаев, когда р> 1.

$p$$X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

$$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$$

То есть дисперсия случайного вектора определяется как матрица, которая хранит все дисперсии на главной диагонали и ковариации между различными компонентами в других элементах. Затем выборочная ковариационная матрица будет рассчитана путем добавления аналогов выборки для переменных совокупности:$p \times p$

$$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$$ где обозначает е наблюдение для особенности и среднее значение выборки${X_{ij}}$$i$$j$${{\bar X}_{ \cdot j}}$$j$Эта особенность Таким образом, дисперсия случайного вектора определяется как матрица, содержащая отдельные дисперсии и ковариации. Поэтому достаточно рассчитать выборочные дисперсии и ковариации для всех компонент вектора отдельно.