Если бы теннисный матч был одним большим сетом, сколько игр дали бы одинаковую точность?

У тенниса есть своеобразная трехуровневая система подсчета очков, и мне интересно, имеет ли это какую-либо статистическую выгоду с точки зрения матча как эксперимента по определению лучшего игрока.

Для тех, кто незнаком, в нормальных правилах игра выигрывается с первым до 4 очков, при условии, что у вас преимущество в 2 очка (то есть, если вы выигрываете со счетом 4: 2, но при 4: 3 вам нужно еще 1 очко, и сохраняйте идти, пока один игрок не 2 впереди).

В таком случае набор - это набор игр, и набор выигрывает от первого до 6, опять же, выигрывая на 2, за исключением того, что в этот раз вместо продолжения (вместо последнего Уимблдонского и т. Д. Играется особая игра с разборкой). ..)

Матч выигрывается с 1 по 2 или 3 сета в зависимости от соревнования.

Теперь теннис также странен в том, что игры несправедливы. Для любой заданной точки сервер имеет огромное преимущество, поэтому каждую игру сервер чередует.

В игре с тай-брейком подача чередуется после каждого очка, и она составляет первые 7 очков, опять же, с лидерством в 2 очка.

Предположим, что у игрока A есть вероятность выиграть очко на своей подаче и при получении .p $p_s$$p_r$

Вопрос в том, что мы

A) только что сыграл в теннис в большом матче «лучшие из N игр», сколько игр даст ту же точность, что и в обычном лучшем теннисе из 5 сетов

Б) Только что играл в теннис как игра с большим тай-брейком, сколько очков дало бы ту же точность, что и обычный лучший теннис из 5 сетов?

Очевидно, что эти ответы будут зависеть от значений и , поэтому было бы также полезно знать,p $p_s$$p_r$

C) Каково ожидаемое количество игр и очков, сыгранных в обычном теннисе, при условии постоянных ,p $p_s$$p_r$

---

Определение «Точность»

Если предположить, что мастерство обоих игроков остается постоянным, то, если они играли в течение бесконечного промежутка времени, то тот или иной игрок выиграл бы почти наверняка, независимо от формата игры. Этот игрок является «правильным» победителем. Я уверен, что правильным победителем является игрок, для которого .$p_r+p_s > 1$

Лучшим форматом игры является тот, который чаще производит правильного победителя при одинаковом количестве сыгранных очков или наоборот дает правильного победителя с равной вероятностью за несколько сыгранных очков.

Если вы играете в игры до очков, где вы должны выиграть 2 , вы можете предположить, что игроки играют 6 очков. Если ни один из игроков не выигрывает со счетом 2 , то счет становится равным 3 - 3 , а затем вы играете пары очков, пока один из игроков не выиграет оба. Это означает, что шанс выиграть игру до 4 очков, когда ваш шанс выиграть каждое очко равен p , равен$4$$2$$2$$3-3$$4$$p$

.

$$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$$

В мужской игре высшего уровня может быть около 0,65 для сервера. (Было бы 0,66, если бы мужчины не расслабились на второй подаче.) Согласно этой формуле, шанс удержать подачу составляет около 82,96 % .$p$$0.65$$0.66$$82.96\%$

Предположим, вы играете на тай-брейке до очков. Можно предположить, что очки разыгрываются парами, где каждый игрок обслуживает одну из каждой пары. Кто служит первым, не имеет значения. Вы можете предположить, что игроки играют 12 очков. Если они связаны в этой точке, то они играют пару, пока один игрок не выиграет обе пары, что означает, что условный шанс на выигрыш равен p s p r / ( p s p r + ( 1 - p s ) ( 1 - p). г ) ) . Если я правильно рассчитать, шанс выиграть тай-брейк до $7$$12$$p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$$7$ очки

$$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$$

$p_s=0.65, p_r=0.36$$51.67\%$

Далее рассмотрим набор. Неважно, кто подает первым, что удобно, потому что в противном случае нам пришлось бы рассмотреть вопрос о выигрыше сета, имея следующую подачу, вместо того, чтобы выиграть сет без сохранения подачи. Чтобы выиграть сет из игр, вы можете представить, что сначала играют 10 игр. Если счет 5 - 5, сыграйте еще 2 игры. Если они не определят победителя, то сыграйте в тай-брейк или в пятом сете просто повторите игру в пары. Пусть p h будет вероятностью удержания подачи, и пусть p $6$$10$$5-5$$2$$p_h$$p_b$$6$$7$$p_s$$p_h$$p_r$$p_b$

$p_s=0.65$$p_r=0.36$$53.59\%$

$p_s=0.65$$p_r=0.36$$53.30\%$

$5$$p_s=0.65$$p_r=0.36$$56.28\%$

$p_s=0.65, p_r=0.36$$24$$56.22\%$$25$$56.34\%$$23$$24$$113$$56.27\%$$114$$56.29\%$

Это говорит о том, что игра одного гигантского сета не более эффективна, чем лучший из 5 матчей, но игра одного гигантского тай-брейка была бы более эффективной, по крайней мере, для близко подобранных соперников, у которых есть преимущество в подаче.

---

$51\%$

$13$$57.51\%$$45$$4.115$$4.115 \times 21.96 = 90.37$$45$$82.35$

$13$$29$$29$

$13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$$36$$33$$36$$33$хвосты, у вас есть доказательства того, что головы чаще, чем хвосты, а не то, что хвосты чаще, чем головы. Таким образом, лучший из трех матчей неэффективен, потому что он тратит впустую информацию. Серия матчей требует больше данных в среднем, потому что иногда она приносит победу игроку, который выиграл меньше игр.