Для событие имеет вероятность . Следовательно,
но
(используя трюк Фейнмана, подтвержденный теоремой о доминируемой сходимости, потому что это весело)
{ X > x } P { X > x } = 1 - F X ( x ) = e - λ x > 0x>0{X>x}P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0
E[X∣X>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=∫∞xtλe−λtdt=(∗)
(∗)=−λ∫∞xddλ(e−λt)dt=−λddλ∫∞xe−λtdt
=−λddλ(1λ∫∞xλe−λtdt)=−λddλ(1λ(1−FX(x)))
=−λddλ(e−λxλ)=(1λ+x)e−λx,
что дает желаемый результат
E[X∣X>x]=1λ+x=E[X]+x.