Разница гамма-случайных величин

Для двух независимых случайных величин и , каково распределение разности, т.е. ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Если результат малоизвестен, как бы я мог получить результат?

distributions gamma-distribution

— FBC
источник

Я думаю, что может быть актуально: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Дмитрий Васильевич Мастеров

К сожалению, не имеет значения, этот пост рассматривает взвешенную сумму гамма-случайных величин, где веса строго положительны. В моем случае веса были бы +1 и -1 соответственно.

— FBC

В статье Мосхопулоса утверждается, что метод может быть распространен на линейные комбинации, но вы правы в том, что масштабирование, по-видимому, ограничено весами, превышающими 0. Я исправлен.

— Дмитрий Васильевич Мастеров

Существует небольшая надежда на вывод чего-либо простого или в закрытом виде, если два масштабных коэффициента не совпадают.

— whuber

Небольшое замечание: для частного случая экспоненциально распределенных rvs с одним и тем же параметром результатом является Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Рик

Ответы:

Я в общих чертах расскажу, как можно решить проблему, и укажу, каким, на мой взгляд, будет конечный результат для особого случая, когда параметры формы являются целыми числами, но не заполняют детали.

Во-первых, обратите внимание, что принимает значения в и поэтому имеет поддержку . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Во- вторых, от стандартных результатов , что плотность суммы двух независимых непрерывных случайных величин является сверткой их плотности, то есть и что плотность случайной величины равна , выведите, что
$е_{Икс + Y} (Z) знак равно \int_{- \infty}^{\infty} е_{Икс} (Икс) е_{Y} (Z - Икс) d Икс$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $е_{Икс - Y} (Z) знак равно е_{Икс + (- Y)} (Z) знак равно \int_{- \infty}^{\infty} е_{Икс} (Икс) е_{- Y} (Z - Икс) d Икс знак равно \int_{- \infty}^{\infty} е_{Икс} (Икс) е_{Y} (Икс - Z) d Икс,$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
В-третьих, для неотрицательных случайных величин и обратите внимание, что приведенное выше выражение упрощается до $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
$\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} п (Y, Z) ехр (- (λ + μ) Y) d Y, \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Дилип Сарватэ
источник

+1: Посмотрев на эту проблему раньше, я нахожу этот ответ увлекательным.

— Нил Дж

Я собираюсь принять этот ответ, хотя, похоже, не существует решения в закрытой форме. Это так близко, как это получается, спасибо!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Насколько мне известно, распределение разности двух независимых гамма-волн было впервые изучено Матхай в 1993 году. Он получил решение в закрытой форме. Я не буду воспроизводить его работу здесь. Вместо этого я укажу вам первоисточник. Решение с замкнутой формой можно найти на странице 241 в виде теоремы 2.1 в его статье « Нецентральная обобщенная лапласианность квадратичных форм от нормальных переменных» .

— Натан Крок
источник