Как найти предельное распределение от совместного распределения с многовариантной зависимостью?

Одна из проблем в моем учебнике состоит в следующем. Двумерный стохастический непрерывный вектор имеет следующую функцию плотности:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Покажите, что функции предельной плотности и : $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Я понимаю, как вычисляется функция плотности путем интегрирования от до отношению к . Однако я полностью потерялся на , откуда исходит? Если я интегрирую от до по то получу только , и почему диапазон ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Я получил поддержку , все значения, где , окрашены в синий цвет: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

Поддержка $ X, Y $

— soren.qvist
источник

Это может помочь вам нарисовать картину поддержки (которая является набором для которого ). Это должно немедленно ответить на некоторые ваши вопросы.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Хорошо, так что я получил поддержку и думаю, что понимаю, почему это 0 <y <1, потому что x определен только в 0 <x <1, и, так как 0 <y <x, мы, естественно, имеем только y определяется от 0 до 1, правильно? Но я все еще не понимаю (1-й ^ 2) часть.

— soren.qvist

Подсказка: предельная плотность является интегралом от который при фиксированном значении , , отличен от нуля только для тех удовлетворяющих . То есть и именно здесь часть приходит.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Дилип Сарвате

Спасибо за подсказку, Дилип, боюсь, я не до конца понимаю. «.. для фиксированного значения , , отлично от нуля только для тех удовлетворяют ». Вы имеете в виду синюю область на графике?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Да. Я имею в виду синюю область на графике. является интегралом (площадь под кривой) из функции от , которая имеет значение , если находится в пределах от и (синяя область) и в противном случае. Повторите эти действия для других фиксированных значений и обратите внимание, что каждый раз, когда числовое значение оказывается таким же числом, которое получается при «включении» выбранного значения в выражение

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ как указано в вашем листе ответов. Затем приходит "Эй, Ма, я думаю, что вижу образец!" момент, и вы понимаете, что равен показанному интегралу.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Дилип Сарвате

Как вы правильно указали в своем вопросе, рассчитывается путем интегрирования плотности соединения относительно X. Важнейшей частью здесь является определение области, на которой вы интеграции. Вы уже ясно продемонстрировали графически поддержку функции совместного распределения . Итак, теперь вы можете заметить, что диапазон в затененной области от до (то есть графически вы можете визуализировать горизонтальные линии, параллельные оси x, идущие от диагональной линии к вертикальной линии при ). $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

Таким образом, нижний и верхний пределы интегрирования будут равны и . Таким образом, решение проблемы заключается в следующем: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
источник