Байесовский средний уровень до

Я хотел задать вопрос, вдохновленный превосходным ответом на вопрос об интуиции для бета-дистрибутива. Я хотел лучше понять происхождение предыдущего распределения среднего значения. Похоже, что Дэвид отклоняет параметры от среднего значения и диапазона.

В предположении, что среднее значение равно $0.27$ а стандартное отклонение равно $0.18$ , вы можете отказаться от $\alpha$ и $\beta$ , решив эти два уравнения:

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Димитрий Васильевич Мастеров
источник

Честно говоря, я просто продолжал отображать значения в R, пока они не выглядели правильно.

— Дэвид Робинсон

где вы получите стандартное отклонение, которое будет .18?

— AppleLover

Как вы пришли к этому стандартному отклонению? Вы знали это заранее?

— Мария Лавровская

Ответы:

Заметить, что:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Это означает, что дисперсия может быть выражена через среднее значение как

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Если вы хотите среднее значение $.27$ и стандартное отклонение $.18$ (дисперсия $.0324$ ), просто рассчитайте:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Теперь, когда вы знаете сумму, $\alpha$ и $\beta$ легко:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Вы можете проверить этот ответ в R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— Дэвид Робинсон
источник

Дэвид, ты случайно не следил за исследованиями бейсбола? Есть несколько конкурирующих методов для нахождения правильных

, поэтому мне было интересно, если у вас есть какое-либо мнение по этому вопросу, если вы что-то делаете, кроме просто пытаться найти график, который выглядит разумным.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Майкл МакГоуэн

Я не особо слежу за саберметрикой - в другом ответе просто получилось очень удобный пример оценки p по биномиальному с предшествующим. Я даже не знаю, так ли это, как это делается в саберметрии, и если это так, я знаю, что я упустил много компонентов (игроки, имеющие разные приоритеты, настройки стадиона, взвешивание недавних попаданий над старыми ...)

— Дэвид Робинсон

Я впечатлен, что ваши взгляды были такими точными.

— Дмитрий Васильевич Мастеров

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

@Alex Запрашиваемая дисперсия и стандартное отклонение получены из вышеприведенного вопроса, в котором запрашивалось SD в размере .18, а не сообщение о бета-распространении. Если бы я вычислял вместо глазного яблока, я мог бы предположить, что SD что-то вроде .03, который дал бы значения 59 и 160.

— Дэвид Робинсон

Я хотел добавить это как комментарий к отличному ответу, но он работал долго и будет выглядеть лучше с форматированием ответа.

$(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Используя те же рассуждения, что и Давид, мы можем выразить

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

$\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

$\alpha$ $\alpha > 0$ $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Взятые вместе, вот набор допустимых средних и отклонений для бета-версии:

(Действительно, это отмечено на странице Википедии для бета-версии )

— MichaelChirico
источник