Amoeba Интервью Вопрос

25

Мне задали этот вопрос во время собеседования по поводу торговой позиции в частной торговой фирме. Я бы очень хотел узнать ответ на этот вопрос и интуицию, стоящую за ним.

Вопрос о амебе: популяция амеб начинается с 1. После 1 периода эта амеба может делиться на 1, 2, 3 или 0 (она может умереть) с равной вероятностью. Какова вероятность того, что все население в конечном итоге вымирает?

probability

— AME
источник

мы должны предположить, что это делает каждый из них с вероятностью ?

1 / 4

$1/4$

— Шаббычеф

16

с биологической точки зрения этот шанс равен 1. Окружающая среда неизбежно изменится до такой степени, что ни одна популяция не сможет выжить, учитывая, что через x миллиардов лет солнце взорвется. Но я думаю, что это не тот ответ, который он искал. ;-) Вопрос тоже не имеет смысла. Амебу можно разделить только на 2 или 0. Мораль: трейдеры не должны задавать вопросы о биологии.

— Йорис Мейс

7

Такой вопрос на собеседовании для такой должности? Может быть, это что-то вроде dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

Это милый вопрос, как упоминает Майк. Интуиция здесь заключается в том, что вероятность выживания / вымирания одинакова для двух поколений. Можно подумать о более креативной версии, когда сама вероятность выживания изменяется в зависимости от числа присутствующих амеб. Я добавил это в свой блог на сайте.

— брокколи

1

1) амёбы размножаются бинарными митозами. 2) Амебы не размножаются в аномальных митотических фигурах, например, 3 раза, если бы они были замечены, это было бы смертельным. 4) Задавать вопросы во время интервью, которые вызывают уклон подтверждения, как правило, расценивают как низкое качество. Совет; Вы можете не хотеть эту работу.

— Карл

36

Милая проблема. Это тот тип вещей, которые вероятностники делают в своих головах для развлечения.

Методика заключается в предположении , что существует такая вероятность вымирания, назовет его . Затем, глядя на одно глубокое дерево решений для возможных результатов, которые мы видим - используя Закон Полной Вероятности - что $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

при условии, что в случае 2 или 3 «потомков» их вероятности вымирания равны IID. Это уравнение имеет два возможных корня, и $1$ . Кто-то умнее меня, возможно, сможет объяснить, почемуне правдоподобно. $\sqrt{2}-1$ $1$

Должно быть, Джобс становится напряженным - какой интервьюер ожидает, что вы решите кубические уравнения в своей голове?

— Майк Андерсон
источник

3

Причину 1, не являющуюся корнем, легко увидеть, рассмотрев ожидаемое количество амеб после

шагов, назовем его

. Легко показать, что

. Поскольку вероятность каждого исхода

мы имеем

, и поэтому

неограниченно возрастает в

. Это явно не соответствует

.

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— Шаббычеф

9

@shabbychef Это не так очевидно для меня. Вы можете ожидать, что ожидания будут расти в геометрической прогрессии (или даже быстрее), в то время как вероятность вымирания все еще приближается к единице. (Например, рассмотрим случайный процесс, при котором население либо увеличивается в четыре раза в каждом поколении, либо полностью умирает, каждый с равными шансами. Ожидание в поколении n равно 2 ^ n, но вероятность вымирания равна 1.) Таким образом, врожденных нет противоречие; ваш аргумент нуждается в чем-то дополнительном.

— whuber

1

@shabbychef - спасибо за редактирование. Я не знал, что мы можем использовать встроенный TeX для математики! @whuber - утверждение shabbychef

- всего лишь вариация моего утверждения о вероятности исчезновения, просто добавьте ожидания вместо умножения вероятностей. Хорошая работа, Шаб.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Майк Андерсон

1

Это понятно, Майк, но в чем твоя точка зрения? Разве мы не говорим о том, как исключить 1 как решение? Кстати, очевидно (при осмотре и / или понимании проблемы), что 1 будет решением. Это сводит его к квадратному уравнению, которое можно легко решить на месте. Это не обычно вопрос интервью, однако. Возможно, спрашивающий выясняет, что заявитель активно знает о случайных процессах, броуновском движении, исчислении Ито и т. Д. И как они решают проблемы, а не могут ли они решить этот конкретный вопрос.

— whuber

3

@shabbychef: Один из способов исключить P = 1 - изучить эволюцию функции, генерирующей вероятность. Pgf получается, начиная с t (представляющего начальную совокупность 1) и итеративно заменяя t на (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4. Для любого начального значения t меньше 1 график легко показывает, что итерации сходятся к Sqrt (2) -1. В частности, pgf держится в стороне от 1, показывая, что он не может сходиться к 1 везде, что будет означать полное исчезновение. Вот почему «1 не правдоподобно».

— whuber

21

Некоторый конец вычисления конверта (буквально - у меня был конверт, лежащий на моем столе), дает мне вероятность 42/111 (38%) никогда не достигать населения 3.

Я провел быструю симуляцию Python, увидев, сколько популяций погибло от 20 поколений (в этот момент они обычно либо вымирали, либо исчисляются тысячами), и получил 4164 мертвых из 10000 пробежек.

Таким образом, ответ составляет 42%.

— Emile
источник

9

равно 0,4142, поэтому оно согласуется с аналитическим результатом Майка. И +1, потому что мне нравятся симуляции ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

Также +1, потому что я люблю симуляции. Который был бы моим ответом;).

— Fomite

7

Это звучит в связи с процессом Гальтона Уотсона , первоначально сформулированным для изучения выживания фамилий. Вероятность зависит от ожидаемого количества субамеб после одного деления. В этом случае, ожидаемое число составляет которая больше , чем критическое значение , и , таким образом, вероятность исчезновения менее чем . $3/2,$ $1$ $1$

Рассматривая ожидаемое количество амеб после делений, можно легко показать, что если ожидаемое число после одного деления меньше , вероятность вымирания равна . Другая половина проблемы, я не уверен в этом. $k$ $1$ $1$

— shabbychef
источник

6

Как и в ответе Майка Андерсона , вы можете приравнять вероятность вымирания линии амебы к сумме вероятностей вымирания потомков ребенка.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Затем, когда вы устанавливаете равную вероятность того, что их линия исчезнет с родителей и детей, вы получите уравнение:

п знак равно \frac{1}{4} п^{3} + \frac{1}{4} п^{2} + \frac{1}{4} п + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

который имеет корни $p=1$ , $p=\sqrt{2}-1$ и $p=-\sqrt{2}-1$ .

Остается вопрос, почему ответ должен быть $p=\sqrt{2}-1$ а не $p=1$ . Это, например, задается в этом повторяющемсявопросе об интервью Амебы: P (N = 0) 1 или 1/2? , Вответе Шаббычефаобъясняется, что можно взглянуть на $E_k$ - ожидаемое значение численности населения после $k$ разделения и посмотреть, уменьшается ли оно или увеличивается.

Для меня есть некоторая косвенность в аргументации за это, и кажется, что это не полностью доказано.

Например, в одном из комментариев Вубер отмечает, что вы можете иметь растущее значение ожидания $E_k$ а также иметь вероятность вымирания в подходе $k$ шага 1. В качестве примера вы могли бы представить катастрофическое событие, которое уничтожает всю амебу население, и это происходит с некоторой вероятностью $x$ на каждом этапе. Тогда линия амебы почти наверняка умрет. Тем не менее, ожидание численности населения на этапе $k$ растет.
Кроме того, ответ оставляет открытым то, что мы должны думать о ситуации, когда $E_k = 1$ (например, когда амеба расщепляется или не расщепляется с равной вероятностью 50%, тогда линия амебы исчезает с вероятностью почти $1$ хотя $E_k= 1$ )

Альтернативный вывод.

Отметим, что решение $p=1$ может быть бессодержательной истиной . Мы приравниваем вероятность того, что родословная линия родителя вымерла, чтобы родословная ребенка вымерла.

Если «вероятность вымирания линии ребенка равна $1$ ».
Тогда «вероятность исчезновения линии родителя равна $1$ ».

Но это не означает, что верно, что «вероятность вымирания линии ребенка равна $1$ ». Это особенно ясно, когда всегда будет ненулевое количество потомков. Например, представьте себе уравнение:

п знак равно \frac{1}{3} п^{3} + \frac{1}{3} п^{2} + \frac{1}{3} п

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Можем ли мы найти решение немного иначе?

$p_k$ $k$

п_{1} знак равно \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

и рекуррентное отношение

п_{К + 1} знак равно \frac{1}{4} п_{К}^{3} + \frac{1}{4} п_{К}^{2} + \frac{1}{4} п_{К} + п_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

или

δ_{К} знак равно п_{К + 1} - п_{К} знак равно \frac{1}{4} п_{К}^{3} + \frac{1}{4} п_{К}^{2} - \frac{3}{4} п_{К} + п_{1} знак равно е (п_{К})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

$f(p_k)>1$ $k$ $k$

Сходимость к корню и связь со значением ожидания

$f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

$f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

f^{'} (p) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— Секст Эмпирик
источник