Нахождение распределения статистики

Учусь на тест. Не могу ответить на этот.

Пусть iid случайных величин. определять$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

и ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Каково распределение , ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

Как получить представление о лучшем методе, который можно использовать при запуске такой проблемы?

Это трюк.

Условно на имеем, что равно Это следует из того факта, что для фиксированного это простое линейное преобразование двух независимых -распределенных переменных и . , имеет нормальное распределение. Условное среднее считается равным 0, а условная дисперсия (согласно предположениям о независимости) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

Поскольку условное распределение не зависит от мы заключаем, что оно также является его маргинальным распределением, то есть$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Остальное следует из стандартных результатов о средних и невязках для независимых нормальных случайных величин. Теорема Басу ни для чего не нужна.