Ковариантность преобразованных случайных величин

У меня есть две случайные величины и . $X > 0$ $Y > 0$

Учитывая, что я могу оценить как я могу оценить

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
источник

Этот прошлый вопрос задавался о корреляции, а не ковариации, но он связан с: stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— Дуглас Заре

Можно использовать подход расширения Тейлора:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Редактировать:

Возьмем , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Используйте многомерное разложение Тейлора для вычисления приближения к (аналогично примеру в конце «Первого момента» в ссылке, которая делает более простой случай и использовать одномерные разложения для вычисления приближений к и (как указано в первой части того же раздела) с аналогичной точностью. Из этих вещей вычислите (приблизительную) ковариацию. $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Расширяя до такой же степени аппроксимации, как в примере в ссылке, я думаю, что вы получите термины в среднем и дисперсии каждой (не преобразованной) переменной и их ковариацию.

Изменить 2:

Но вот небольшая хитрость, которая может сэкономить некоторые усилия:

Обратите внимание, что и и . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Учитывая у нас есть

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Изменить: Этот последний шаг следует из приближения Тейлора , что хорошо для малого (принимая ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(это приближение является точным для , normal: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Пусть $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

и учитывая , затем $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Редактировать:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Следовательно, . Это должно быть точно для двумерного гауссова. $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Если бы вы использовали первое приближение, а не второе, вы получили бы здесь другое приближение.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Не могли бы вы дать немного больше деталей, пожалуйста? Во всяком случае, спасибо за предложение

— user7064

Отредактировано для деталей.

— Glen_b

Спасибо @Glend_b. Я приму, когда детали будут добавлены. А пока +1 :-)

— user7064

Не стоит беспокоиться; Я был занят в то время, а потом совсем забыл. Теперь исправлено

— Glen_b

Обычно это работает лучше для негауссовых переменных, если дисперсии и малы (эквивалентно, если коэффициенты вариации и малы).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b

Без каких-либо дополнительных предположений относительно и невозможно вывести ковариацию бревна, зная начальную ковариацию. С другой стороны, если вы смогли вычислить из и , что мешает вам вычислить из и напрямую? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
источник