Как называется это дискретное распределение (рекурсивное разностное уравнение), которое я получил?

Я наткнулся на этот дистрибутив в компьютерной игре и хотел узнать больше о ее поведении. Это связано с решением относительно того, должно ли происходить определенное событие после определенного количества действий игрока. Подробности за этим не имеют значения. Это кажется применимым к другим ситуациям, и я нашел это интересным, потому что это легко вычислить и создает длинный хвост.

На каждом шаге игра генерирует равномерное случайное число . Если , то событие инициируется. После того, как событие произошло один раз, игра сбрасывает и снова проходит последовательность. Меня интересует только одно вхождение события для этой проблемы, потому что это представляет дистрибутив, который использует игра. (Кроме того, на любые вопросы, касающиеся множественных вхождений, можно ответить с помощью одной модели вхождения.) $n$ $0 \leq X < 1$ $X < p(n)$ $n = 0$

Основная «аномалия» здесь заключается в том, что параметр вероятности в этом распределении увеличивается со временем, или, другими словами, порог увеличивается со временем. В примере это изменяется линейно, но я предполагаю, что могли бы применяться другие правила. После шагов или действий пользователя, $n$

p (n) = k n

$p(n) = kn$

для некоторой константы . В определенной точке мы получаем . Событие просто гарантированно произойдет на этом этапе. $0 < k < 1$ $n_{\max}$ $p(n_{\max}) \geq 1$

Я смог определить, что

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$ и для PMF и CDF . Вкратце, вероятность того, что событие будет на м шаге, равна вероятности , меньше вероятности того, что событие уже произошло на каком-либо предыдущем шаге.

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$

f (n)

$f(n)$

F (n)

$F(n)$

n

$n$

p (n)

$p(n)$

Вот сюжет от нашего друга Монте-Карло, для удовольствия, с . Медиана работает до 21 и в среднем до 22. $k \approx 0.003$ введите описание изображения здесь

Это в целом эквивалентно разностному уравнению первого порядка из цифровой обработки сигналов, которое является моей историей, и поэтому я нашел это довольно новым. Я также заинтригован тем, что может варьироваться в зависимости от любой произвольной формулы. $p(n)$

Мои вопросы:

Как называется этот дистрибутив, если он есть?
Есть ли способ вывести выражение для без ссылки на ? $f(n)$ $F(n)$
Есть ли другие примеры дискретных рекурсивных распределений, подобных этому?

Редактирует уточненный процесс о генерации случайных чисел.

— jbarlow
источник

По какой причине вы выбрали квадратные скобки вместо ()?

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon: мой фон DSP проник в. Мы склонны использовать квадратные скобки для дискретных функций времени. Я предполагаю, что это должно быть неприятно, поэтому я изменю это.

— JBarlow

Предполагаемый вами процесс не представляется здесь четко определенным. Вы говорите: «На каждом шаге игра выбрасывает случайное число Если , то событие инициируется». Но вы не даете никаких указаний на то, как рисуетсяЯ думаю, что было бы полезно, если бы этот процесс можно было описать немного точнее.

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

— кардинал

@jbarlow: Извините, если мое предыдущее замечание было неясным. Если для некоторого , то ваш процесс не может иметь больше, чем шагов, так как одно случайное число от нуля до единицы определенно будет меньше чем для любого . Величина как функция от очень тесно связана с так называемой функцией опасности в подполе статистики, известном как анализ выживаемости .

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$

— кардинал

При малых использование дифференциального аналога этого разностного уравнения показывает, что ( не !) Близко к гауссову. (Из этого мы немедленно выводим, например, что среднее значение должно быть около ). Обратите также внимание, что существуют некоторые (сильные) ограничения на , в противном случае, как только превысит (что в конечном итоге и будет), нет гарантии, что останется меньше или равным .

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

— whuber

Ответы:

В некотором смысле, что вы сделали, это охарактеризовали все неотрицательные целочисленные распределения.

Давайте на минуту отложим описание случайного процесса и сосредоточимся на рекурсиях в вопросе.

Если , то, конечно, . Если мы переписываем эту вторую рекурсию в терминах функции выживания (где имеет распределение ), мы получим что-то очень внушительное и простое в обращении. Ясно, что и поэтому Таким образом, пока наша последовательность принимает значения в и не слишком быстро сходится к нулю, мы получим действительную функцию выживания (т. Е. Монотонно уменьшаемую до нуля при ). $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$

n \to \infty

$n \to \infty$

Более конкретно,

Предложение : последовательность принимающая значения в определяет распределение по неотрицательным целым числам тогда и только тогда, когда и все такие распределения имеют соответствующую последовательность (хотя она может быть не уникальной). $(p_n)$ $[0,1]$
$- \sum_{n = 0}^{\infty} \log (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

Таким образом, рекурсия, написанная в вопросе, является полностью общей : любое неотрицательное целочисленное распределение имеет соответствующую последовательность принимающую значения . $(p_n)$ $[0,1]$

Однако обратное неверно; то есть существуют последовательности со значениями в которые не соответствуют ни одному допустимому распределению. (В частности, рассмотрим для всех и для ) $(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

Но подождите, это еще не все!

Мы намекали на связь с анализом выживаемости, и стоит изучить это немного глубже. В классическом анализе выживаемости с абсолютно непрерывным распределением и соответствующей плотности , то функция риска определяется как $F$ $f$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

Тогда накопленная опасность равна и простой анализ производных показывает, что Отсюда можно сразу дать характеристику допустимой функции риска: любая измеримая функция такая, что для всех и как . $\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) d s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

Мы получаем рекурсию, аналогичную приведенной выше, для функции выживания, отметив, что для $t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

Заметим, в частности, что мы могли бы выбрать как кусочно-постоянную, причем каждый кусок имеет ширину 1 и такой, что интеграл сходится к бесконечности. Это дало бы функцию выживания которая соответствует любому желаемому дискретному неотрицательному целому числу, оцениваемому по одному на каждое положительное целое число. $h(t)$ $S(t)$

Подключение обратно к дискретному корпусу

Чтобы соответствовать желаемому дискретному для каждого целого числа, мы должны выбрать функцию опасности, которая является кусочно-постоянной, такой, что on . Это обеспечивает второе доказательство необходимого условия для последовательности для определения допустимого распределения. $S(n)$

h (t) = h_{n} = - \log (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

Обратите внимание, что для малых , который обеспечивает эвристическую связь между функцией риска непрерывного распределения и дискретным распределением с соответствующей функцией выживания на целые числа. $p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

Постскриптум : В качестве заключительного замечания, пример в вопросе не удовлетворяет необходимым условиям без соответствующей модификации при и установке для всех . $p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— кардинальный
источник

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

Отличный ответ. Это очень проницательно. Мне было действительно интересно видеть эту проблему связанной с другими областями и понятиями.

— JBarlow

@jbarlow: Спасибо. Я рад, что вы нашли это полезным! Мне понравилось немного подумать об этом, так как это хороший вопрос.

— кардинал

$p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

есть решение

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$

$p(n)$

Другие случаи:

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
$S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
$p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— Cam.Davidson.Pilon
источник

Кэм, это не функция опасности, а функция выживания . :-)

— кардинал

ty, * отредактировано для выживания

— Cam.Davidson.Pilon