Предположим, что случайная величина имеет нижнюю и верхнюю границы [0,1]. Как рассчитать дисперсию такой переменной?
Предположим, что случайная величина имеет нижнюю и верхнюю границы [0,1]. Как рассчитать дисперсию такой переменной?
Ответы:
Вы можете доказать неравенство Поповичу следующим образом. Используйте обозначение и . Определите функцию помощью
Теперь рассмотрим значение функции в специальной точке . Должно быть так, что
Но
Поскольку и , мы имеем
подразумевая, что
Пусть - распределение на . Покажем , что если дисперсия максимальна, то не может иметь не поддерживает в салоне, откуда следует , что является Бернулли , а остальное тривиально.[ 0 , 1 ] F F F
В качестве примечания, пусть будет й необработанный момент (и, как обычно, мы пишем и для дисперсии).k F μ = μ 1 σ 2 = μ 2 - μ 2
Мы знаем, что не имеет всей своей поддержки в одной точке ( в этом случае дисперсия минимальна ). Среди прочего это означает, что лежит строго между и . Чтобы рассуждать от противного, предположим, что во внутреннем пространстве имеется некоторое измеримое подмножество для которого . Без потери общности мы можем предположить (изменяя на если это необходимо), что : другими словами, получается путем обрезания любого часть выше среднего иμ 0 1 I ( 0 , 1 ) F ( I ) > 0 X 1 - X F ( J = I ∩ ( 0 , μ ] ) > 0 J I J имеет положительную вероятность.
Давайте изменим на , взяв всю вероятность из и поместив ее в . F ′ J 0 При этом меняется на
Для обозначения, давайте напишем для таких интегралов, откуда
Рассчитать
Второй член в правой части , , не является отрицательным , потому что всюду на . Первый член справа можно переписатьμ ≥ x J
Первое слагаемое справа строго положительно, потому что (a) и (b) потому что мы предполагали, что не сконцентрировано в точке. Второе слагаемое неотрицательно, потому что его можно переписать как и это подынтегральное выражение неотрицательно из предположений на и . Отсюда следует, что .[ 1 ] = F ( J ) < 1 F [ ( μ - x ) ( x ) ] μ ≥ x J 0 ≤ x ≤ 1 σ ′ 2 - σ 2 > 0
Мы только что показали, что в наших предположениях изменение на строго увеличивает его дисперсию. Единственный способ, которым это не может произойти, - это когда вся вероятность сконцентрирована в конечных точках и с (скажем) значениями и соответственно. Его дисперсия легко вычисляется равной которая максимальна, когда и равна там.F ' Р ' 0 1 1 - р р р ( 1 - р ) р = 1 / 2 1 / 4
Теперь, когда - это распределение на , мы перенастраиваем его и масштабируем до распределения на . Повторное центрирование не изменяет дисперсию, тогда как масштабирование делит ее на . Таким образом, с максимальной дисперсией на соответствует распределению с максимальной дисперсией на : следовательно, это распределение Бернулли масштабированное и переведенное в имеющее дисперсию 2/4 , QED .[ , Ь ] [ 0 , 1 ] ( б - ) 2 Р [ , Ь ] [ 0 , 1 ] ( 1 / 2 ) [ , Ь ] ( Ь - ) 2 / 4
Если случайная величина ограничена и мы знаем среднее значение , дисперсия ограничена .μ = E [ X ] ( b - μ ) ( μ - a )
Рассмотрим сначала случай . Отметим, что для всех , , поэтому также . Используя этот результат, x ∈ [ 0 , 1 ] x 2 ≤ x E [ X 2 ] ≤ E [ X ] σ 2 = E [ X 2 ] - ( E [ X ] 2 ) = E [ X 2 ] - μ 2 ≤ μ - μ 2 = μ (
Чтобы обобщить интервалы с , рассмотрим ограниченный . Определите , который ограничен в . Эквивалентно, , и, таким образом, где неравенство основано на первом результате. Теперь, подставив , граница равна которое является желаемым результатом.b > a Y [ a , b ] X = Y - aY = ( b - a ) X + a V a r [ Y ] = ( b - a ) 2 V a r [ X ] ≤ ( b - a ) 2 μ X ( 1 - μ X ) . μ X = μ Y - a
По запросу @ user603 ....
Еще один момент, о котором следует помнить: ограниченная случайная величина имеет конечную дисперсию, тогда как для неограниченной случайной величины эта дисперсия может быть не конечной, а в некоторых случаях может даже не быть определяемой. Например, среднее не может быть определено для случайных величин Коши , и поэтому невозможно определить дисперсию (как ожидание квадрата отклонения от среднего).