по итогу, каково распределение отрицательных биномов

Если $x_1, x_2, \ldots, x_n$ являются н.о.р. отрицательное биномиальное, то , что распределение $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ с учетом

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$?

$N$ является фиксированным.

Если $x_1, x_2, \ldots, x_n$ являются пуассоновскими, то при условии, что сумма $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ полиномиальна. Я не уверен, верно ли это для отрицательного бинома, так как это смесь Пуассона.

Если вы хотите знать, это не домашнее задание.

Прошу прощения за поздний ответ, но это меня тоже задело, и я нашел ответ. Распределение действительно Dirichlet-Multinomial и индивидуальный нег. биномиальные распределения даже не должны быть идентичными, если их коэффициент Фано (отношение дисперсии к среднему) идентичен.

Длинный ответ:

Если вы параметризируете NB как:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

Тогда и и$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ подразумевает

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

Затем, принимая вероятность с учетом суммы:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

где - вероятность Дирихле-Полиномиальная. Это объясняется просто тем фактом, что, за исключением многочленных коэффициентов, многие слагаемые в дробной части левой части сокращаются, оставляя вас только с членами гамма-функции, которые совпадают с вероятностью DM.$DM$

Также обратите внимание, что параметры этой модели нельзя идентифицировать, так как увеличение с одновременным уменьшением всех приводит к точно такой же вероятности.$\theta$$\lambda_i$

Лучшее упоминание, которое у меня есть для этого, - это разделы 2–3,1 Guimarães & Lindrooth (2007): «Управление избыточным рассеянием в сгруппированных условных логит-моделях: простое в вычислительном отношении применение полиномиальной регрессии Дирихле - к сожалению, она расплатилась, но я не смог найти неоплачиваемую ссылку.