Верхние границы плотности связки?

Фреш-Хёфдинг верхней границы относится к функции распределения копулы и задается

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Есть ли подобные (в том смысле , что оно зависит от предельных плотностей) до верхней границы для плотности копулы $c(u_1,...,u_d)$ вместо CDF?

Любая ссылка будет принята с благодарностью.

— Коппола
источник

Какого рода границы вы ищете? Описание вашей реальной проблемы может помочь. Технически, ответ «нет» двумя разными способами: (i) там может не быть плотности (!) И (b), если бы она была, мы могли бы изменить ее на множестве нулевой меры, чтобы он был таким же большим, как мы » мне нравится Хотя мы кое-что знаем . В частности, предположим, что

существует, и пусть

будет любым (гипер) прямоугольником с длинами сторон

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

. Тогда, конечно

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— кардинал

Поскольку вы можете легко создавать примеры, которые удовлетворяют этой границе, я подозреваю, что можно сказать не так уж много страшного. Но я не думал об этом тщательно.

— кардинал

@cardinal Спасибо за ваши комментарии. Действительно, я предполагаю, что плотность существует, чтобы избежать тривиального случая. Я искал верхнюю границу в терминах предельных плотностей. Я особенно заинтересован в гауссовой связке.

— Коппола

Если это связка, то все предельные плотности одинаковы, то есть постоянная функция. :)

— кардинал

@ Cardinal Простите за мой французский. Позвольте мне перефразировать мой вопрос. Гауссова копула (который я особенно заинтересован в) задается

. Тамгде

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

. Это, например, не может быть ограничена продукта

. Итак, я искал другую верхнюю границу, включающую только маргиналы. И, конечно, я пытался задать вопрос в более общем виде, связав его с вышеупомянутыми границами. Извиняюсь за мои смутные слова.

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Коппола

Вообще говоря, нет, нет. Например, в случае двумерной гауссовой связки величина в показателе степени имеет седловую точку в точке (0,0) и поэтому взрывается до бесконечности в двух направлениях. Если вы столкнетесь с классом плотностей связок, которые на самом деле ограничены, пожалуйста, дайте мне знать!

— MHankin
источник

Не могли бы вы уточнить, что вы подразумеваете под «количеством в показателе степени»? Наличие «седловой точки» не соответствует ни одному стандартному определению гауссовского распределения.

— whuber

@whuber Плотность гауссовой связки не является стандартной гауссовской. Если вы посмотрите на комментарий Копполы выше, вы заметите, что плотность гауссовой связки имеет

где вы ожидаете только обратную матрицу ковариации. Обратная ковариационная матрица должна быть симметричной положительной полуопределенной, но -I допускает не положительную определенность и, следовательно, седловую точку. Его наличие связано со сменой переменных при преобразовании из

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— Ханкин

Да, я знаю об этом - но это не то, что подразумевает ваш ответ. Эта связка параметризована корреляционной матрицей

, но для любого такого

она является функцией только

. Как таковой, он никогда не «взрывается до бесконечности». Не существует действительных корреляционных матриц

(т. Е. Невырожденных), для которых эта связка не ограничена. По этим причинам я просил уточнить ваш ответ.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Я только что отправил вам по электронной почте редактируемую версию более подробного описания моего примера. Дайте мне знать, если вы считаете, что это выглядит точно, и в этом случае я добавлю это к моему ответу выше. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin