Существует ли статистический тест для сравнения двух выборок размера 1 и 3?

Для экологического проекта моя лабораторная группа добавила уксус в 4 резервуара, содержащих равные объемы прудовой воды, 1 контрольный образец без элодеи (водное растение) и 3 обработки с одинаковым количеством элодеи в каждом. Целью добавления уксуса было снижение рН. Гипотеза заключалась в том, что резервуары с элодеей быстрее вернутся к своему нормальному pH. Это действительно было так. Мы измеряли pH каждого резервуара ежедневно в течение примерно двух недель. Все резервуары в конечном итоге вернулись к своему естественному pH, но время, которое потребовалось для этого, было намного короче для резервуаров с элодеей.

Когда мы рассказали нашему профессору о нашем экспериментальном проекте, он сказал, что не существует статистического теста, который можно было бы выполнить на данных, чтобы сравнить контроль с лечением. Из-за того, что не было никакой копии для контроля (мы использовали только один контрольный резервуар), мы не можем рассчитать дисперсию и поэтому мы не можем сравнивать выборочные средства контроля и обработки. Итак, мой вопрос, это правда? Я определенно понимаю, что он имеет в виду. Например, если вы взяли рост одного мужчины и одной женщины, вы не сможете сделать выводы об их соответствующей популяции. Но мы сделали 3 процедуры, и разница была небольшой. Кажется разумным предположить, что дисперсия будет аналогичной в контроле?

Обновить:

Спасибо за отличный ответ. Мы получили больше воды и элодеи из водно-болотных угодий и решили снова провести эксперимент с небольшими резервуарами, но на этот раз с 5 контролями и 5 обработками. Мы собирались объединить это с нашими исходными данными, но начальный pH в резервуарах был достаточно разным, так что кажется неправильным считать новый эксперимент взятым из той же популяции, что и исходный эксперимент.

Мы рассмотрели добавление различных количеств элодеи и пытались соотнести скорость восстановления pH (измеренную по истечении времени, пока pH не вернулась к своему первоначальному значению) с количеством elodea, но решили, что в этом нет необходимости. Наша цель состоит только в том, чтобы показать, что элодея имеет положительное значение, а не в том, чтобы построить какую-то прогностическую модель для точного определения того, как pH реагирует на различные количества элодеи. Было бы интересно определить оптимальное количество elodea, но это, вероятно, только максимальное количество, которое может выжить. Попытка подогнать кривую регрессии к данным не будет особенно полезной из-за различных сложных изменений, которые происходят в сообществе при добавлении большого количества данных. Элодея умирает, разлагается, начинают доминировать новые организмы и так далее.

Обратите внимание на вопрос Гунга; это имеет значение. Я предполагаю, что обработка была одинаковой для каждого резервуара в группе обработки.

Если вы можете утверждать, что дисперсия будет одинаковой для двух групп (что вы обычно предполагаете для t-критерия с двумя образцами в любом случае), вы можете выполнить тест. Вы просто не можете проверить это предположение, независимо от того, насколько сильно оно может быть нарушено.

Озабоченность, выраженная в этом ответе на связанный вопрос, еще более актуальна для вашей ситуации, но вы с этим уже не можете ничего поделать.

[Вы спрашиваете, разумно ли предположить, что различия равны. Мы не можем ответить на это для вас, это то, что вы должны были бы убедить, что эксперты в данной области (например, экологи) были разумным предположением. Существуют ли другие исследования, в которых такие уровни измерялись как при лечении, так и под контролем? Другие, где были проведены подобные тесты (особенно t-тесты или anova - держу пари, что вы можете найти лучший прецедент) или сделали подобные предположения? Какую форму общего мышления вы можете применить?]

$\bar{x}$$\bar{y}$$\sigma^2$$\bar{x}-\bar{y}$$\mu_x - \mu_y$$\sigma^2 (1/n_x + 1/n_y)$$n$

$n_y$

$s_x$$t$$n_x - 1$

$\sigma$$s_x$$s_p$$n_y$

Редактировать:

Вот кривая смоделированной мощности для этого теста. Размер выборки при нулевом значении составлял 10000, в остальных точках - 1000. Как видите, коэффициент отклонения при нулевом значении равен 0,05, а кривая мощности, хотя для этого требуется большая разница в совокупности, означает, что приличная мощность имеет правильная форма. То есть этот тест делает то, что должен.

(Конец редактирования)

Однако при столь малых размерах выборки это будет несколько чувствительно к предположениям о распределении.

Если вы готовы сделать другие предположения или хотите проверить равенство некоторого другого количества населения, некоторые проверки все еще могут быть возможны.

Так что не все потеряно ... но, где это возможно, обычно лучше иметь хотя бы некоторую репликацию в обеих группах.