Лагранжева релаксация в контексте гребневой регрессии

В «Элементах статистического обучения» (2-е изд.), Стр. 63, авторы приводят следующие две формулировки проблемы регрессии гребня:

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \left\{ \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \right\}$$

и

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 \text{, subject to } \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \leq t.$$

Утверждается, что они эквивалентны, и что между параметрами и существует взаимно-однозначное соответствие .$\lambda$$t$

Казалось бы, первая формулировка является лагранжевой релаксацией второй. Однако у меня никогда не было интуитивного понимания того, как или почему работают лагранжевы релаксации.

Есть ли простой способ продемонстрировать, что две формулировки действительно эквивалентны? Если бы мне пришлось выбирать, я бы предпочел интуицию строгости.

Благодарю.

Соответствие легче всего показать с помощью теоремы об огибающей .

$\lambda \cdot t$$\lambda$

$t$$t$$\beta$$\lambda \cdot t$

$t$

Я предполагаю, что это переписка Hastie et al. имеют в виду.