Что является самым большим из множества нормально распределенных случайных величин?

У меня есть случайные величины $X_0,X_1,\dots,X_n$ . $X_0$ имеет нормальное распределение со средним $\mu>0$ и дисперсией $1$ . $X_1,\dots,X_n$ RVS нормально распределены со средним $0$ и дисперсией $1$ . Все взаимно независимы.

Обозначим через $E$ событие, когда $X_0$ является наибольшим из них, т. Е. $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ . Я хочу рассчитать или оценить $\Pr[E]$ . Я ищу выражение для $\Pr[E]$ как функцию от $\mu,n$ или разумную оценку или приближение для $\Pr[E]$ .

В моем приложении фиксировано ( n = 61 ), и я хочу найти наименьшее значение для µ, которое делает Pr [ E ] ≥ 0,99 , но мне также интересен общий вопрос.$n$$n=61$$\mu$$\Pr[E] \ge 0.99$

Вычисление таких вероятностей было тщательно изучено инженерами связи под названием « ортогональная сигнализация»,$M$ где модель состоит в том, что один из одинаково вероятных ортогональных сигналов одинаковой энергии передается, и приемник пытается определить, какой из них был передан, путем изучения выходы М фильтров согласованы с сигналами. При условии идентичности передаваемого сигнала выборочные выходы согласованных фильтров являются (условно) независимыми единичными нормальными случайными переменными. Пример выходного сигнала фильтра, соответствующего переданному сигналу, равен N ( μ , 1 $M$$M$$N(\mu,1)$случайная величина, в то время как выходные данные всех других фильтров представляют собой случайных величин.$N(0,1)$

Условная вероятность правильного решения (которое в данном контексте является событие ) обусловлена X 0 = α является Р ( С | Х 0 = α ) = п Π я = 1 P { X i < α ∣ X 0 = α } = [ Φ ( α $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$$X_0 = \alpha$ гдеΦ(⋅

$$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$$ $\Phi(\cdot)$ является совокупным распределение вероятностей стандартной нормальной случайной величины, и , следовательно , безусловная вероятность где ϕ ( ⋅ ) - стандартная функция нормальной плотности. Для значения этого интеграла не существует выражения в замкнутой форме, которое должно оцениваться численно. Инженеры также заинтересованы в дополнительном событии - что решение ошибочно - но не любят вычислять это как P { X 0 < max i X i } = P ( E ) = 1 - P ( C ), потому что это требует очень тщательной оценки интеграла для P ( C $$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$$ $\phi(\cdot)$ $$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$$ $P(C)$ с точностью до многих значащих цифр, и такая оценка сложна и отнимает много времени. Вместо этого, интеграл для может быть интегрирован по частямчтобы получить Р { Х 0 < макс я Х я } = ∫ ∞ - ∞ п [ Φ ( α ) ] п - 1 φ ( α ) Φ ( α - μ $1-P(C)$ Этот интеграл легче оценить численно, и его значение как функция от µ представлено и сведено в таблицу (хотя, к сожалению, только для n ≤ 20 ) в главе 5 «Проектирование телекоммуникационных систем» Линдси и Саймона, Prentice-Hall 1973, Dover Press 1991 Альтернативно, инженеры используютобъединенное ограничениеили неравенство Бонферрони P { X 0 < max i X i $$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$$ $\mu$$n \leq 20$ $$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$$ $Q(x) = 1-\Phi(x)$

$0.01$$P\{X_0 < \max_i X_i\}$$60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$$0.01$$\mu = 5.09\ldots$$\mu = 4.919\ldots$

$M$ моей ортогональной сигнализации можно найти на стр. 161-179 моих заметок к лекциям для класса по системам связи.

Формальный ответ:

Распределение вероятностей (плотность) для максимума $N$ IID варьирует это: $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ где $p$ плотность вероятности и $\Phi$ является кумулятивной функцией распределения.

Из этого вы можете рассчитать вероятность того, что $X_0$ больше, чем $N-1$ другие через $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Возможно, вам придется изучить различные приближения для того, чтобы разобраться с этим для вашего конкретного применения.