Распределения, отличные от нормальных, где среднее значение и дисперсия независимы

Мне было интересно, есть ли какие-либо распределения, кроме нормального, где среднее значение и дисперсия не зависят друг от друга (или, другими словами, где дисперсия не является функцией среднего значения).

distributions

— Wolfgang
источник

Я не уверен, правильно ли я понял вопрос. Вы спрашиваете, есть ли какие-либо распределения кроме нормального, которые полностью определены средним значением и дисперсией? В некотором смысле дисперсия является функцией среднего значения, поскольку она является мерой дисперсии вокруг среднего, но я думаю, это не то, что вы имеете в виду.

Вы имеете в виду среднее значение выборки и дисперсию выборки независимы. Хороший вопрос ! может быть, проекция гауссовой случайной величины сохранит независимость?

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— Робин Жирар

Срикант прав. Если вопрос касается «выборочного среднего значения и дисперсии», то ответ «нет». Если вопрос касается среднего значения и дисперсии населения, то ответ - да; Дэвид приводит хорошие примеры ниже.

Просто чтобы уточнить, что я имел в виду, это. Для нормального распределения среднее и дисперсия полностью характеризуют распределение, а не является функцией . Для многих других дистрибутивов это не так. Например, для биномиального распределения мы имеем среднее значение и дисперсию , поэтому дисперсия является функцией среднего значения. Другими примерами являются гамма-распределение с параметрами (масштаб) и (форма), где среднее значение равно а дисперсия , поэтому на самом деле дисперсия

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$ ,

— Вольфганг

Пожалуйста, подумайте над тем, чтобы изменить свой вопрос, потому что ответ, который вы проверили как предпочтительный ответ, не отвечает на вопрос в том виде, в каком он есть (а другой ответ). В настоящее время вы используете слово «независимый» в своеобразном смысле. Ваш пример с Gamma показывает это: можно просто перепараметризовать Gamma с точки зрения среднего (mu) и дисперсии (сигма), потому что мы можем восстановить theta = sigma / mu и kappa = mu ^ 2 / sigma. Другими словами, функциональная «независимость» параметров обычно не имеет смысла (за исключением однопараметрических семейств).

— whuber

Ответы:

Примечание: пожалуйста, прочитайте ответ @G. Джей Кернс, и см. Карлин и Льюис 1996 или ваш любимый справочник вероятности для фона о вычислении среднего и дисперсии как ожидаемого значения и второго момента случайной величины.

Быстрый просмотр Приложения A в работе Carlin and Lewis (1996) дает следующие распределения, которые подобны в этом отношении нормальному, в том смысле, что одни и те же параметры распределения не используются в расчетах среднего значения и дисперсии. Как отмечает @robin, при расчете оценок параметров из выборки для расчета сигма требуется среднее значение выборки.

Многомерный нормальный

Е (Икс) знак равно μ

$E(X) = \mu$

В a р (Икс) знак равно Σ

$Var(X) = \Sigma$

т и многомерный т:

Е (Икс) знак равно μ

$E(X) = \mu$

В a р (Икс) знак равно ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Двойная экспонента:

Е (Икс) знак равно μ

$E(X) = \mu$

В a р (Икс) знак равно 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Коши: С некоторой квалификацией можно утверждать, что среднее значение и дисперсия Коши не зависят.

$E(X)$ и не существуют $Var(X)$

Ссылка

Карлин, Брэдли П. и Томас А. Луи. 1996. Байесовские и эмпирические байесовские методы анализа данных, 2-е изд. Чепмен и Холл / CRC, Нью-Йорк

— Дэвид Лебауэр
источник

В любом семействе масштабов местоположения среднее значение и дисперсия будут функционально независимы таким образом!

— whuber

Дэвид, двойная экспонента - отличный пример. Благодарность! Я не думал об этом. Т-распределение также является хорошим примером, но разве E (X) = 0 и Var (X) = v / (v-2)? Или Carlin et al. (1996) определяют обобщенную версию t-распределения, которая сдвинута в среднем и масштабируется сигмой ^ 2?

— Вольфганг

Вы правы, t-распределение часто характеризуется средним значением = 0 и дисперсией = 1, но общий pdf для t, предоставленный Карлином и Луи, явно включает как сигма, так и mu; Параметр nu учитывает разницу между нормалью и t.

— Дэвид Лебауэр

На самом деле, ответ «нет». Независимость выборочного среднего значения и дисперсии характеризует нормальное распределение. Это было показано Юджином Лукачом в «Характеристике нормального распределения», Анналы математической статистики, Vol. 13, № 1 (март, 1942), с. 91-93.

Я этого не знал, но Феллер, «Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том II» (1966, стр. 86), говорит, что Р. К. Гири это тоже доказал.

@onetop Я думаю, это несчастный артефакт моего возраста. Не стоит преуменьшать, что книги Феллера произвели революцию в том, как была создана вероятность - во всем мире. Большая часть нашей современной нотации принадлежит ему. В течение многих десятилетий, его книги были на вероятностные книги для изучения. Может быть, они все еще должны быть. Кстати, я добавил название для тех, кто не слышал о его книгах.

У меня есть вопрос о другой забавной характеристике ... stats.stackexchange.com/questions/4364/…

— Робин Джирард

Джей, спасибо за ссылку на статью Лукача, который хорошо показывает, что выборочные распределения среднего значения выборки и дисперсии независимы только для нормального распределения. Что касается второго центрального момента, есть некоторые распределения, где он не является функцией первого момента (Дэвид привел несколько хороших примеров).

— Вольфганг

Geary, RC (1936), «Распределение коэффициента« Студента »для ненормальных образцов», журнал Королевского статистического общества, Suppl. 3, 178–184.

— vqv