Этот вопрос вдохновлен мини-игрой от Pokemon Soulsilver:

Представьте, что в этой области 5х6 спрятано 15 бомб (РЕДАКТИРОВАТЬ: максимум 1 бомба / клетка):

Теперь, как бы вы оценили вероятность найти бомбу на определенном поле, учитывая итоги строки / столбца?

Если вы посмотрите на столбец 5 (всего бомб = 5), то вы можете подумать: в этом столбце шанс найти бомбу в ряду 2 вдвое больше, чем шанс найти бомбу в ряду 1.

Это (неправильное) предположение о прямой пропорциональности, которое в основном можно описать как приведение стандартных операций проверки независимости (как в хи-квадрат) в неправильный контекст, приведет к следующим оценкам:

Как видите, прямая пропорциональность приводит к вероятности, превышающей 100%, и даже до этого будет ошибочной.

Поэтому я выполнил вычислительное моделирование всех возможных перестановок, которое привело к 276 уникальным возможностям размещения 15 бомб. (заданные итоги по строкам и столбцам)

Вот среднее значение по 276 решениям:

Это правильное решение, но из-за экспоненциальной вычислительной работы я хотел бы найти метод оценки.

Мой вопрос сейчас: есть ли установленный статистический метод для оценки этого? Мне было интересно, если это известная проблема, как она называется и есть ли какие-либо документы / сайты, которые вы могли бы порекомендовать!

Пространство решений (действительные конфигурации бомб) можно рассматривать как набор двудольных графов с заданной степенной последовательностью. (Сетка - это матрица двунаправленности.) Для создания равномерного распределения в этом пространстве можно использовать методы Марковской цепочки Монте-Карло (MCMC): любое решение можно получить из любого другого, используя последовательность «переключателей», которая в вашей формулировке головоломки выглядит как:

$$\begin{pmatrix} x & - \\ - & x \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} - & x \\ x & - \end{pmatrix}$$

Было доказано, что это свойство быстрого смешивания. Итак, начиная с любой действительной конфигурации и настраивая MCMC, работающий некоторое время, вы должны получить приблизительное равномерное распределение по решениям, которое вы можете усреднить точечно для вероятностей, которые вы ищете.

Я только смутно знаком с этими подходами и их вычислительными аспектами, но, по крайней мере, таким образом вы избегаете перечисления каких-либо решений.

Начало литературе по теме:
https://faculty.math.illinois.edu/~mlavrov/seminar/2018-erdos.pdf
https://arxiv.org/pdf/1701.07101.pdf
https: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1198/016214504000001303

Там нет уникального решения

Я не думаю, что истинное дискретное распределение вероятностей можно восстановить, если вы не сделаете некоторые дополнительные предположения. Ваша ситуация - в основном проблема восстановления совместного распределения от маргиналов. Иногда это решается с помощью связок в отрасли, например, управления финансовыми рисками, но обычно для непрерывных распределений.

Присутствие, Независимое, AS 205

При наличии проблемы в клетке допускается не более одной бомбы. Опять же, для частного случая независимости существует относительно эффективное вычислительное решение.

Если вы знаете FORTRAN, вы можете использовать этот код, который реализует алгоритм AS 205: Ян Сондерс, алгоритм AS 205. Перечисление таблиц R x C с повторными итогами строк, Прикладная статистика, том 33, номер 3, 1984, страницы 340-352. Это связано с алгоритмом Panefield, на который ссылается @Glen_B.

Этот алгоритм перечисляет все таблицы присутствия, т.е. проходит через все возможные таблицы, где в поле находится только одна бомба. Он также вычисляет кратность, т.е. несколько таблиц, которые выглядят одинаково, и вычисляет некоторые вероятности (не те, которые вас интересуют). С помощью этого алгоритма вы можете выполнить полное перечисление быстрее, чем раньше.

Присутствие, не независимое

Алгоритм AS 205 может применяться к случаю, когда строки и столбцы не являются независимыми. В этом случае вам придется применять разные веса к каждой таблице, сгенерированной логикой перечисления. Вес будет зависеть от процесса размещения бомб.

Считает, независимость

Количество проблем позволяет более чем одну бомбу поместили в камеру, конечно. Частный случай независимых строк и столбцов задачи подсчета прост: где и - маргиналы строк и столбцов. Например, строка и столбец , следовательно, вероятность того, что бомба находится в строке 6 и столбце 3, равна . Вы фактически создали этот дистрибутив в своей первой таблице.$P_i^j=P_i\times P^j$$P_i$$P^j$$P_6=3/15=0.2$$P^3=3/15=0.2$$P_6^3=0.04$

Считает, Не является независимым, Дискретные Копулы

Чтобы решить проблему подсчета, когда строки и столбцы не являются независимыми, мы могли бы применить дискретные связки. У них есть проблемы: они не уникальны. Это не делает их бесполезными. Итак, я бы попробовал применить дискретные связки. Вы можете найти хороший обзор их в Genest, C. и J. Nešlehová (2007). Учебник по связкам для подсчета данных. Эстин Булл. 37 (2), 475–515.

Копулы могут быть особенно полезны, поскольку они обычно позволяют явно вызвать зависимость или оценить ее по данным, когда данные доступны. Я имею в виду зависимость строк и столбцов при размещении бомб. Например, это может быть случай, когда бомба находится в первом ряду, тогда более вероятно, что это будет также и первый столбец.

пример

Применим к вашим данным данные связки Кимельдорфа и Сэмпсона, снова предположив, что в ячейку можно поместить более одной бомбы. Связка для параметра зависимости определяется как: Вы можете думать о как аналог коэффициента корреляции.$\theta$

$$C(u,v)=(u^{-\theta}+u^{-\theta}-1)^{-1/\theta}$$ $\theta$

независимый

Давайте начнем со случая слабой зависимости, , где у нас есть следующие вероятности (PMF), и маргинальные PDF также показаны на панелях справа и внизу:$\theta=0.000001$

Вы можете видеть, как в столбце 5 вероятность второй строки имеет в два раза большую вероятность, чем первая строка. Это не так, вопреки тому, что вы, казалось, подразумевали в своем вопросе. Разумеется, все вероятности составляют в сумме 100%, также как маргиналы на панелях соответствуют частотам. Например, столбец 5 на нижней панели показывает 1/3, что соответствует заявленным 5 бомбам из общего количества 15, как и ожидалось.

Положительное соотношение

Для более сильной зависимости (положительной корреляции) с имеем следующее:$\theta=10$

Отрицательная корреляция

То же самое для более сильной, но отрицательной корреляции (зависимости) :$\theta=-0.2$

Вы можете видеть, что все вероятности составляют, конечно, 100%. Также вы можете увидеть, как зависимость влияет на форму PMF. Для положительной зависимости (корреляции) вы получите наивысший PMF, сконцентрированный на диагонали, в то время как для отрицательной зависимости он вне диагонали

Ваш вопрос не проясняет это, но я собираюсь предположить, что бомбы изначально распределяются посредством простой случайной выборки без замены по ячейкам (поэтому ячейка не может содержать более одной бомбы). Вопрос, который вы подняли, по существу, требует разработки метода оценки для распределения вероятностей, который может быть точно рассчитан (теоретически), но который становится вычислительно невозможным для вычисления для больших значений параметров.

---

Точное решение существует, но оно требует большого объема вычислений

Как вы указали в своем вопросе, вы можете выполнить вычислительный поиск по всем возможным распределениям, чтобы определить распределения, которые соответствуют итоговым значениям строки и столбца. Мы можем действовать формально следующим образом. Предположим, что мы имеем дело с сеткой и мы выделяем бомб с помощью простой случайной выборки без замены (поэтому каждая ячейка не может содержать более одной бомбы).$n \times m$$b$

Пусть будет вектором индикаторных переменных, указывающих, присутствует ли бомба в каждой ячейке, и пусть обозначают соответствующий вектор сумм строк и столбцов. Определите функцию , которая сопоставляет вектор распределения с суммами строк и столбцов.$\mathbf{x} = (x_1,...,x_{nm})$$\mathbf{s} = (r_1, ..., r_n, c_1, ..., c_m)$$S: \mathbf{x} \mapsto \mathbf{s}$

Цель состоит в том, чтобы определить вероятность каждого вектора распределения при условии знания сумм строк и столбцов. При простой случайной выборке мы имеем , поэтому условная вероятность интереса равна:$\mathbb{P}(\mathbf{x}) \propto 1$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(\mathbf{x} | \mathbf{s}) = \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}, \mathbf{s})}{\mathbb{P}(\mathbf{s})} &= \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{1}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|} \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s}) \\[6pt] &= \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

где - это множество всех векторов размещения, совместимых с вектором . Это показывает, что (при простой случайной выборке бомб) мы имеем . То есть условное распределение вектора распределения для бомб является равномерным по набору всех векторов распределения, совместимых с наблюдаемыми итогами строк и столбцов. Предельная вероятность бомбы в данной ячейке может быть получена путем маргинализации по этому совместному распределению:$\mathscr{X}_\mathbf{s} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | S(\mathbf{x}) = \mathbf{s} \}$$\mathbf{s}$$\mathbf{x} | \mathbf{s} \sim \text{U}(\mathscr{X}_\mathbf{s})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \sum_{\mathbf{x}: x_{ij} = 1} \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}) = \frac{|\mathscr{X}_{ij} \cap \mathscr{X}_\mathbf{s}|}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|}. \end{aligned} \end{equation}$$

где - это набор всех векторов выделения с бомбой в ячейке в й строке и м столбце. Теперь в вашей конкретной задаче вы вычислили множество и обнаружили, что , поэтому условная вероятность векторов распределения является одинаковой по всему набору распределений, который вы вычислили (при условии, что вы сделали это правильно). Это точное решение проблемы. Однако вычисление множества требует больших вычислительных ресурсов, поэтому вычисление этого решения может стать невозможным, когда ,$\mathscr{X}_{ij} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | x_{ij} = 1 \}$$i$$j$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$|\mathscr{X}_\mathbf{s}| = 276$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$n$$m$или стать больше.$b$

---

В поисках хороших методов оценки

В случае, когда невозможно вычислить набор , вы хотите иметь возможность оценить предельные вероятности нахождения бомбы в любой конкретной ячейке. Я не знаю ни одного существующего исследования, которое дает методы оценки для этой проблемы, так что это потребует от вас разработать некоторые правдоподобные оценки и затем проверить их производительность по сравнению с точным решением, используя компьютерное моделирование для значений параметров, которые являются достаточно низкими для этого, чтобы быть выполнимым.$\mathscr{X}_\mathbf{s}$

Наивный эмпирический оценщик: Оценщик, который вы предложили и использовали в своей зеленой таблице:

$$\hat{\mathbb{P}}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \frac{r_i}{b} \cdot \frac{c_j}{b} \cdot b = \frac{r_i \cdot c_j}{b}.$$

Этот метод оценки рассматривает строки и столбцы как независимые и оценивает вероятность бомбы в конкретной строке / столбце по относительным частотам в сумме строк и столбцов. Нетрудно установить, что этот оценщик суммирует по всем ячейкам, как вам хотелось бы. К сожалению, у него есть главный недостаток, заключающийся в том, что в некоторых случаях он может дать оценочную вероятность выше единицы. Это плохое свойство для оценщика.$b$