Беспристрастная оценка экспоненты меры множества?


12

Предположим, что у нас есть (измеримое и соответственно хорошо себя ведущее) множество , где компактно. Кроме того, предположим, что мы можем извлечь образцы из равномерного распределения по относительно меры Лебега и что мы знаем меру . Например, возможно представляет собой коробку , содержащий .SBRnBBλ()λ(B)B[c,c]nS

Для фиксированного , существует ли простой непредвзятый способ оценки путем равномерной выборки точек в и проверки, находятся ли они внутри или вне ?αReαλ(S)BS

В качестве примера чего-то, что не совсем работает, предположим, что мы точек . Тогда мы можем использовать оценку Монте-Карло Но, хотя - это объективная оценка , я не думаю, что - это объективная оценка . Есть ли способ изменить этот алгоритм?kp1,,pkUniform(B)

λ(S)λ^:=#{piS}kλ(B).
А , А(S)е-& alpha ; А , е-& alphaА(S)λ^λ(S)eαλ^eαλ(S)

Ответы:


11

Предположим, что вам доступны следующие ресурсы:

  1. У вас есть доступ к оценщику .λ^
  2. λ^ беспристрастен для .λ(S)
  3. λ^ почти несомненно , ограничена сверху .C
  4. Вы знаете постоянную , иC
  5. Вы можете формировать независимые реализации столько раз, сколько захотите.λ^

Теперь обратите внимание, что для любого место следующее (в силу разложения Тейлора ):u>0expx

eαλ(S)=eαCeα(Cλ(S))=eαCk0(α[Cλ(S)])kk!=eαCeuk0eu(α[Cλ(S)])kk!=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k

Теперь сделайте следующее:

  1. Пример .KPoisson(u)
  2. Форма как несмещенная оценка .λ^1,,λ^Kλ(S)
  3. Вернуть оценку

Λ^=euαC(αu)Ki=1K{Cλ^i}.

Λ^ является неотрицательной, непредвзятой оценкой . Это потому чтоλ(S)

E[Λ^|K]=euαC(αu)KE[i=1K{Cλ^i}|K]=euαC(αu)Ki=1KE[Cλ^i]=euαC(αu)Ki=1K[Cλ(S)]=euαC(αu)K[Cλ(S)]K

и поэтому

E[Λ^]=EK[E[Λ^|K]]=EK[euαC(αu)K[Cλ(S)]K]=euαCk0P(K=k)(αu)K[Cλ(S)]K=euαCk0ukeuk!(α[Cλ(S)]u)k=eαλ(S)

по более раннему расчету.


Интересный! Разве оценщик для описанный в вопросе, не работает здесь, так как он ограничен выше ? Кроме того, почему это не противоречит ответу @whuber ниже? Есть ли простой аргумент, почему это непредвзято? Извините за многие вопросы, моя теория вероятностей слабая :-) , А(В)<λ^λ(B)<
Джастин Соломон

1
Оценщик, который вы описываете, работает, так как вы знаете . Я думаю, что это не противоречит другому ответу из-за предположения ; учитывая ограниченный доступ к объективным оценкам, я не думаю, что эта конструкция будет работать. Беспристрастность приходит путем сравнения ожиданий со степенным рядом выше; Я сделаю это более ясным в ответе. 5 Λλ(B)5Λ^
πr8

Вы уверены, что можете поменять продукт и ожидания во второй строке доказательства непредвзятости?
jbowman

2
Похоже, что это нормально, потому что они вычисляются внутри, верно?
Джастин Соломон

2
+1 Я думаю, что это интересный и учебный пример. Это удается, не делая предположения, неявные для моего ответа: размер выборки либо указан, либо, по крайней мере, ограничен.
whuber

10

Ответ отрицательный.

Достаточной статистикой для равномерной выборки является количество точек, которые находятся в Это число имеет биномиальное распределение . Напишите иXS.(n,λ(S)/λ(B))p=λ(S)/λ(B)α=αλ(B).

Для размера выборки пусть будет любой (нерандомизированной) оценкой Ожиданиеn,tnexp(αλ(S))=exp((αλ(B))p)=exp(αp).

E[tn(X)]=x=0n(nx)px(1p)nxtn(x),

который равен многочлену степени не более в Но если экспонента не может быть выражена как многочлен от (Одно доказательство: возьмите производную. Результат для ожидания будет равен нулю, но производная экспоненты, которая сама является экспонентой по не может быть равна нулю.)np.αp0,exp(αp)п,N+1п,

Демонстрация для рандомизированных оценок почти такая же: взяв ожидания, мы снова получаем многочлен отп,

Следовательно, не существует объективной оценки.


1
Ах, это депрессант! Спасибо за хорошее доказательство. Но ряд Тейлора для сходится довольно быстро - возможно, существует "приблизительно непредвзятая" оценка? Не уверен, что это значит (я не большой статистик :-))ехр(T)
Джастин Соломон

Как быстро, точно? Ответ зависит от значения - и в этом ваша проблема, потому что вы не знаете, что это за значение. Вы знаете только то, что он лежит между и Вы можете использовать это, чтобы установить границу смещения, если хотите. αp0α,
whuber

В моем приложении я ожидаю занимать большую часть . Я хотел бы использовать это значение в псевдо-маргинальном соотношении SВ
Джастин Соломон

4
Кстати, я очень ценю ваши мысли о другом ответе на этот вопрос!
Джастин Соломон
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.