Имеют ли отрицательные вероятности / амплитуды вероятности применения вне квантовой механики?

27

Квантовая механика обобщает теорию вероятностей на отрицательные / мнимые числа, в основном для объяснения интерференционных моделей, двойственности волн / частиц и вообще странных вещей, подобных этому. Однако это можно рассматривать более абстрактно как некоммутативное обобщение байесовской вероятности (цитата из Терренса Тао). Мне любопытно об этих вещах, хотя ни в коем случае не эксперт. Имеет ли это какое-либо применение вне квантовой механики? Просто любопытно.

probability

— gabgoh
источник

2

Ну вроде. Я ни в коем случае не эксперт, но я прочитал ЭТУ статью Эсбена Хауга и нашел ее довольно интересной.

2

Вы можете интерпретировать вычисления, которые я выполняю на stats.stackexchange.com/a/332122/919 ( среди прочего ), как связанные с «отрицательными вероятностями», поскольку они представляют распределения вероятностей как смеси положительных и отрицательных показателей. Я так понимаю, что под «приложением» вы подразумеваете концептуальное , а не просто математическое манипулирование.

— whuber

17

Да. Мне очень нравится статья, которой поделился Сорен, и вместе со ссылками в этой статье я бы порекомендовал Muckenheim, W. et al. (1986). Обзор расширенных вероятностей . Phys. Отчет 133 (6) 337-401. Это статья по физике, но приложения там не все связаны с квантовой физикой.

Мое личное любимое приложение относится к теореме де Финетти (также байесовской по вкусу): если мы не возражаем против отрицательных вероятностей, то оказывается, что все заменяемые последовательности (даже конечные, возможно, отрицательно коррелированные) представляют собой (подписанную) смесь последовательностей IID , Конечно, это само по себе имеет применение в квантовой механике, в частности, то, что статистика Ферми-Дирака дает тот же тип (со знаком) представления смеси, что и статистика Бозе-Эйнштейна.

Мое второе личное любимое приложение (за пределами собственно физики) касается бесконечно делимых (ID) распределений, которые классически включают в себя нормальные, гамма, пуассона, ... список продолжается. Нетрудно показать, что у ID-распределений должна быть неограниченная поддержка, которая немедленно убивает распределения, такие как биномиальные или равномерные (дискретные + непрерывные) распределения. Но если мы допустим отрицательные вероятности, то эти проблемы исчезнут, и биномиальное, равномерное (дискретное + непрерывное) и целый ряд других распределений станут бесконечно делимыми - в этом расширенном смысле, пожалуйста, имейте в виду. Распределения ID относятся к статистике в том смысле, что они являются предельными распределениями в обобщенных центральных предельных теоремах.

Кстати, первое приложение - это нашептанный фольклор среди вероятностников, и здесь доказано , что вещи с бесконечной делимостью , а неформальная электронная копия здесь .

Предположительно, на arXiv тоже есть куча материала , хотя я давно не проверял там.

И последнее замечание: абсолютно верно, что на самом деле нельзя называть что-либо вероятностью, которая не лежит в , по крайней мере, пока. Учитывая, что «отрицательные вероятности» существовали так долго, я не вижу, чтобы это изменилось в ближайшем будущем, не без какого-то колоссального прорыва. $[0,1]$

— Alexis
источник

3

+1. Похоже, ваши "отрицательные вероятности" - это просто подписанные меры, верно?

— whuber

2

Спасибо. Да, совершенно верно, мои. Те из Хренникова, которые упоминаются в «Хауге», совершенно разные, хотя они представляют собой пределы относительных частот в некоторой р-адической топологии. Дикие, сумасшедшие вещи.

1

Кажется глупым говорить, что мы не можем назвать их вероятностями. Кажется, все равно, что я не могу назвать мнимые числа «числами».

— statslearner

16

QM не использует отрицательные или мнимые вероятности: если бы они были, они больше не были бы вероятностями!

То, что может быть (и обычно является) комплексным значением, является квантово-механической волновой функцией . Из этого может быть построена амплитуда вероятности (которая является истинной плотностью вероятности); это по-разному написано или . Если имеет (комплексные) скалярные значения, . В любом случае эти значения являются неотрицательными действительными числами. $\psi$ $<\psi|\psi>$ $\|\psi\|^2$ $\psi$ $\|\psi\|^2 = \psi^* \psi$

Подробности см. В разделе «Постулаты квантовой механики» в статье Википедии .

— Whuber
источник

Правильно, идея о том, что взаимодействия состояний могут мешать, и тогда пересечение двух состояний может быть «отрицательным».

— изоморфизм

На самом деле формализация вероятности со знаком не является формализацией волновой функции. Для бесспиновой точечной частицы волновая функция находится в пространстве от : . Формализованная формализация распределения находится в фазовом пространстве для : . См. En.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution . Ну, вопрос был непонятным, о котором он упоминал.

C

$\mathbb{C}$

x \mapsto ψ (x)

$x\mapsto\psi(x)$

R

$\mathbb{R}$

(x, q) \mapsto p (x, q)

$(x,q)\mapsto p(x,q)$

— Бенуа Санчес

4

Я придерживаюсь мнения, что "Какова применимость этой теории?" это вопрос, на который студенты теории должны ответить. Профессор МакГонагалл тратит все свое время на преподавание и исследования, и ее ученики должны найти применение всему миру. (по крайней мере, это своего рода оборонительная позиция, и вид, который я сейчас выберу)

Так что, возможно, вопрос должен быть: во-первых, понять алгебру квантовых взаимодействий (алгебра фон Неймана); затем ищите вещи в мире, которые ведут себя таким образом. Вместо "Кто еще сделал эту работу?"

Тем не менее, один пример, который меня мучает в течение нескольких лет, - это использование В. Даниловым и А. Ламбертом-Могильянским использования алгебры фон Неймана в теории принятия решений. Явно речь идет не о «квантовой механике в мозге». Скорее, что «вмешивающиеся (психические) состояния» могут быть более точным объяснением поведения потребителей, чем обычная картина:

теория полезности

— isomorphismes
источник

Я не понимаю, как это отвечает на вопрос вообще.

— statslearner

1

@Stats Это касается сути вопроса, который касается приложений , отсюда и значение нестандартных вероятностей. (Алгебры фон Неймана неизбежно приводят к комплексным величинам, которые в конечном итоге объединяются, чтобы произвести вероятности.)

— whuber