Используя только самые основные аксиомы о вероятностях и действительных числах, можно доказать гораздо более сильное утверждение:
Разница любых двух независимых одинаково распределенных непостоянных случайных значений X−Y никогда не имеет дискретного равномерного распределения.
(Аналогичное утверждение для непрерывных переменных доказано в Uniform PDF разности двух rv .)
Идея состоит в том, что вероятность того, что X−Y является экстремальным значением, должна быть меньше, чем вероятность того, что X−Y равна нулю, потому что есть только один способ (скажем) максимизировать X−Y тогда как есть много способов уменьшить ноль. потому что X и Y имеют одинаковое распределение и поэтому могут равняться друг другу. Вот подробности.
Прежде всего заметим, что гипотетические две переменные X и Y идет речь, каждая из них может достичь только конечного числа n значений с положительной вероятностью, потому что будет как минимум n различных различий, и равномерное распределение присваивает им одинаковую вероятность. Если n бесконечно, то так будет число возможных различий, имеющих положительную, равную вероятность, откуда сумма их шансов будет бесконечной, что невозможно.
Далее , поскольку число различий конечно, среди них будет наибольшее. Наибольшая разница может быть достигнута только в том случае, если вычесть наименьшее значение из Y -let, называющего его m и предположить, что оно имеет вероятность q=Pr(Y=m) - из наибольшего значения вызова X -let, что это M с p=Pr(X=M). Поскольку X и Y независимы, вероятность этой разницы является результатом этих шансов,
Pr(X−Y=M−m)=Pr(X=M)Pr(Y=m)=pq>0.(*)
Наконец , потому что X иY имеют одинаковое распределение, есть много способов их различия могут продуцировать значение0. Среди этих способов являются случаикогдаX=Y=m иX=Y=M. Поскольку это распределение непостоянное,m отличается отM.Это показывает, что эти два случая являются непересекающимися событиями, и поэтому они должны вноситькак минимумвеличинуp2+q2 в вероятность того, чтоX−Yноль; то есть,
Pr(X−Y=0)≥Pr(X=Y=m)+Pr(X=Y=M)=p2+q2.
Так как квадраты чисел не являются отрицательными, 0≤(p−q)2, откуда мы выводим из (∗) что
Pr(X−Y=M−m)=pq≤pq+(p−q)2=p2+q2−pq<p2+q2≤Pr(X−Y=0),
показывая распределение X−Y не является равномерным, QED.
Редактировать в ответ на комментарий
Аналогичный анализ абсолютных различий |X−Y|отмечает, что, потому что X иY имеют одинаковое распределение,m=−M.Это требует от нас изученияPr(X−Y=|M−m|)=2pq.Тот же алгебраический метод дает почти тот же результат, но есть вероятность, что2pq=2pq+(p−q)2 и2pq+p2+q2=1. Эта система уравнений имеет единственное решениеp=q=1/2 , соответствующей справедливой монеты (а «двусторонний умереть»). Помимо этого исключения, результат для абсолютных различий такой же, как и для различий, и по тем же базовым причинам, которые уже приведены: а именно, абсолютные различия двух случайных переменных iid не могут быть равномерно распределены, когда имеется более двух различных различий с положительной вероятностью.
(конец редактирования)
Давайте применим этот результат к вопросу, который задает что-то более сложное.
Смоделируйте каждый независимый бросок кристалла (который может быть нечестным штампом) со случайной величиной Xi, i=1,2,…,n. Различиянаблюдаемые в этихn валков числоΔXi=Xi+1−Xi. Мы могли бы задаться вопросом, насколько равномерно распределены этиn−1 числа. Это действительно вопрос о статистических ожиданиях: что ожидаемое числоΔXiнапример, равны нулю? Что такое ожидаемое число ΔXi равняться −1 ? И т. Д.
Проблематичный аспект этого вопроса является то , что ΔXi является не независимыми: например, ΔX1=X2−X1 и ΔX2=X3−X2 включает один и тот же рулон X2.
Тем не менее, это не очень сложно. Поскольку статистическое ожидание является аддитивным и все различия имеют одинаковое распределение, если мы выберем любое возможное значение k различий, ожидаемое число раз, равное разницеk во всей последовательности изn бросков, будет просто вn−1 раз больше ожидаемого числа раз разница равнаk в один шаг процесса. Это одношаговое ожиданиеPr(ΔXi=k) (для любогоi ). Эти ожидания будут одинаковыми для всехk (то естьравномерно) тогда и только тогда, когда они одинаковы для одного ΔXi. Но мы видели , что ни ΔXi не имеет равномерное распределение, даже когда умирают может быть предвзятым. Таким образом, даже в этом более слабом смысле ожидаемых частот различия роликов не являются однородными.
