Var (X) известно, как рассчитать Var (1 / X)?

Если у меня есть только , как я могу вычислить ? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

У меня нет никакой информации о распределении , поэтому я не могу использовать преобразование, или любые другие методы , которые используют распределение вероятностей . $X$ $X$

distributions variance data-transformation

— КРЫСА
источник

Я думаю, что это может помочь вам.

— Christoph_J

Это невозможно.

Рассмотрим последовательность $X_n$ случайных величин, где

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Потом:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Но $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ приближается к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности:

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

В этом примере используется тот факт, что $\Var(X)$ инвариантен относительно трансляций $X$ , но $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$ нет.

Но даже если мы примем $\mathrm{E}(X)=0$ , мы не сможем вычислить $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$ : пусть

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Тогда приближается к 1, так как стремится к бесконечности, но $\Var(X_n)$ $n$ для всех. $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
источник

Вы можете использовать ряды Тейлора, чтобы получить аппроксимацию моментов низкого порядка преобразованной случайной величины. Если распределение достаточно «плотное» вокруг среднего значения (в определенном смысле), аппроксимация может быть довольно хорошей.

Так например

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

так

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

часто берется только первый член

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

В этом случае (при условии, что я не ошибся), с , $g(X)=\frac{1}{X}$ . $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Taylor expansions for the moments of functions of random variables

---

Some examples to illustrate this. I'll generate two (gamma-distributed) samples in R, one with a 'not-so-tight' distribution about the mean and one a bit tighter.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

The approximation suggests the variance of $1/a$ should be close to $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Algebraic calculation has that the actual population variance is $1/648 \approx 0.00154$

Now for the tighter one:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

The approximation suggests the variance of $1/a$ should be close to $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Algebraic calculation shows that the population variance of the reciprocal is $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$ .

— Glen_b -Reinstate Monica
источник

Note that in this case, a quite weak hypothesis leads to the conclusion that no mean (whence variance) for

1 / X

$1/X$ will exist, i.e., that the approximation in the answer will be rather misleading. :-) An example hypothesis is that

X

$X$ has a density

f

$f$ that is continuous in an interval around zero and such that

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$ . The result then follows because the density will be bounded away from zero on some interval

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$ . The hypothesis just given is not the weakest possible, of course.

— cardinal

The reason the Taylor series argument then fails is because

\approx

$\approx$ hides the remainder (error) term, which in this case is

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$ and this behaves badly around

x = 0

$x = 0$ .

— cardinal

One must indeed be careful about the behavior of the density near 0. Note that in the above gamma examples, the distribution of the inverse is inverse gamma, for which having a finite mean requires

α > 1

$\alpha>1$ (

α

$\alpha$ being the shape parameter of the gamma we're inverting). The two examples had

α = 10

$\alpha = 10$ and

α = 100

$\alpha = 100$ . Even so (with "nice" distributions for inverting) neglect of higher terms can introduce a noticeable bias.

— Glen_b -Reinstate Monica

this seems in the right direction, of a reciprocal shifted normal distribution instead of a reciprocal standard normal distribution: en.wikipedia.org/wiki/…

— Felipe G. Nievinski