Как энтропия зависит от местоположения и масштаба?

Энтропии непрерывного распределения с функцией плотности $f$ определяются как негатив ожидания $\log(f),$ и , следовательно , равны

H_{f} = - \int_{- \infty}^{\infty} \log (f (x)) f (x) d x .

$H_f = -\int_{-\infty}^{\infty} \log(f(x)) f(x)\mathrm{d}x.$

Мы также говорим, что любая случайная величина $X$ , распределение которой имеет плотность $f$ имеет энтропию $H_f.$ (Этот интеграл является четким, даже если $f$ имеет нули, потому что $\log(f(x))f(x)$ можно принять равным нулю при таких значениях.)

Когда $X$ и $Y$ являются случайными переменными, для которых $Y = X+\mu$ ( $\mu$ является константой), $Y$ называется версией $X$ смещенной на $\mu.$ Точно так же, когда $Y = X\sigma$ ( $\sigma$ - положительная постоянная), $Y$ называется версией $X$ масштабированной по $\sigma.$ Объединение шкалы со сдвигом дает $Y=X\sigma + \mu.$

Эти отношения встречаются часто. Например, изменение единиц измерения $X$ сдвигает и масштабирует его.

Как энтропия $Y = X\sigma + \mu$ связана с энтропией $X?$

distributions data-transformation entropy

— Whuber
источник

Поскольку элемент вероятности $X$ равен $f(x)\mathrm{d}x,$ изменение переменной $y = x\sigma + \mu$ эквивалентно $x = (y-\mu)/\sigma,$ откуда

f (x) d x = f (\frac{y - μ}{σ}) d (\frac{y - μ}{σ}) = \frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ}) d y

$f(x)\mathrm{d}x = f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)\mathrm{d}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) \mathrm{d}y$

отсюда следует , что плотность $Y$ является

f_{Y} (y) = \frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ}) .

$f_Y(y) = \frac{1}{\sigma}f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right).$

Следовательно, энтропия $Y$ является

H (Y) = - \int_{- \infty}^{\infty} \log (\frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ})) \frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ}) d y

$H(Y) = -\int_{-\infty}^{\infty} \log\left(\frac{1}{\sigma}f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)\right) \frac{1}{\sigma}f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) \mathrm{d}y$

которая, при изменении переменной обратно к $x = (y-\mu)/\sigma,$ производит

\begin{aligned} H (Y) & = - \int_{- \infty}^{\infty} \log (\frac{1}{σ} f (x)) f (x) d x \\ = - \int_{- \infty}^{\infty} (\log (\frac{1}{σ}) + \log (f (x))) f (x) d x \\ = \log (σ) \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x - \int_{- \infty}^{\infty} \log (f (x)) f (x) d x \\ = \log (σ) + H_{f} . \end{aligned}

$\eqalign{ H(Y) &= -\int_{-\infty}^{\infty} \log\left(\frac{1}{\sigma}f\left(x\right)\right) f\left(x\right) \mathrm{d}x \\ &= -\int_{-\infty}^{\infty} \left(\log\left(\frac{1}{\sigma}\right) + \log\left(f\left(x\right)\right)\right) f\left(x\right) \mathrm{d}x \\ &= \log\left(\sigma\right) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x -\int_{-\infty}^{\infty} \log\left(f\left(x\right)\right) f\left(x\right) \mathrm{d}x \\ &= \log(\sigma) + H_f. }$

$f(x)\mathrm{d}x$

Вывод

$Y = X\sigma + \mu$ $X$ $\log(\sigma).$

$\sigma \ge 1$ $\log(\sigma).$

$\mu$ $\sigma$ $(\mu,\sigma)$ $\mu=0$ $\sigma=1.$

\log (f (x)) = - \frac{1}{2} \log (2 π) - x^{2} / 2,

$\log(f(x)) = -\frac{1}{2}\log(2\pi) - x^2/2,$

откуда

H = - E [- \frac{1}{2} \log (2 π) - X^{2} / 2] = \frac{1}{2} \log (2 π) + \frac{1}{2} .

$H = -E[-\frac{1}{2}\log(2\pi) - X^2/2] = \frac{1}{2}\log(2\pi) + \frac{1}{2}.$

$(\mu,\sigma)$ $\log\sigma$

H = \frac{1}{2} \log (2 π) + \frac{1}{2} + \log (σ) = \frac{1}{2} \log (2 π e σ^{2})

$H = \frac{1}{2}\log(2\pi) + \frac{1}{2} + \log(\sigma) = \frac{1}{2}\log(2\pi\,e\,\sigma^2)$

как сообщает Википедия .

— Whuber
источник