ARMA
Рассмотрим который следует за процессом ARMA ( ). Предположим, для простоты он имеет нулевое среднее значение и постоянную дисперсию. Условно на информации , может быть разделен на известную (заранее определенную) часть (которая является условным средним для заданной ) и случайную часть :ytp,qIt−1ytμtytIt−1ut
ytμtut|It−1=μt+ut;=φ1yt−1+…+φpyt−p+θ1ut−1+…+θqut−q (known, predetermined); ∼D(0,σ2) (random)
где - некоторая плотность.D
Условное среднее сам по себе следует процесс , подобный АРМА ( ) , но без случайного одновременного термина ошибки:
где ; для ; и для . Обратите внимание, что этот процесс имеет порядок ( ), а не ( ), как .μtp,q
μt=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m,
m:=max(p,q)φi=0i>pθj=0j>qp,mp,qyt
Мы также можем записать условное распределение в терминах его прошлых условных средних (а не прошлых реализованных значений) и параметров модели какyt
ytμtσ2t∼D(μt,σ2t);=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m;=σ2,
Последнее представление облегчает сравнение ARMA с GARCH и ARMA-GARCH.
GARCH
Рассмотрим который следует за процессом GARCH ( ). Предположим, для простоты оно имеет постоянное среднее. затемyts,r
ytμtσ2tutσt∼D(μt,σ2t);=μ;=ω+α1u2t−1+…+αsu2t−s+β1σ2t−1+…+βrσ2t−r;∼i.i.D(0,1),
где и - некоторая плотность.ut:=yt−μtD
Условная дисперсия следует процесс , подобный АРМА ( ) , но без случайного одновременного термина ошибки.σ2ts,r
ARMA-GARCH
Рассмотрим которое имеет безусловный средний ноль и следует процессу ARMA ( ) -GARCH ( ). затемytp,qs,r
ytμtσ2tutσt∼D(μt,σ2t);=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m;=ω+α1u2t−1+…+αsu2t−s+β1σ2t−1+…+βrσ2t−r;∼i.i.D(0,1),
где ; - некоторая плотность, например, нормальная; для ; и для .ut:=yt−μtDφi=0i>pθj=0j>q
Процесс условного среднего из-за ARMA имеет по существу ту же форму, что и процесс условного отклонения из-за GARCH, могут отличаться только порядки отставания (учитывая ненулевое безусловное среднее значение не должно существенно изменить этот результат). Важно отметить, что ни один из них не имеет случайных членов ошибки, однажды обусловленных , таким образом, оба предопределены.ytIt−1