42

Я запутался. Я не понимаю разницы между процессом ARMA и GARCH .. для меня то же самое нет?

Вот процесс (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

А вот и ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Является ли ARMA просто расширением GARCH, GARCH используется только для возвратов и с предположением, что где следует за сильным белым процессом? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— Джон
источник

1

В дополнение к ответу fg nu, процесс дисперсии в GARCH является изменяющимся во времени. Однако здесь есть хитрость в том, что с учетом временных рядов лог-возврата SP500, чтобы получить процесс волатильности, что мы должны делать? Некоторые люди говорят, что нам нужно использовать модель ARMA, чтобы вывести остаточный ряд, а затем включить этот остаточный ряд в модель GARCH, чтобы получить процесс условной дисперсии? Или напрямую подключите логарифмический процесс SP500 к логарифмическому возврату в модель GARCH, чтобы получить условную дисперсию?

48

Вы связываете особенности процесса с его представлением. Рассмотрим процесс возврата . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Модель ARMA (p, q) определяет условное среднее значение процесса как

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Здесь - это информация, установленная в момент времени , которая является -алгеброй, генерируемой запаздывающими значениями результата процесса ,

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Модель GARCH (r, s) задает условную дисперсию процесса $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Обратите внимание, в частности, на первую эквивалентность . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Кроме того : на основе этого представления вы можете написать где - процесс с сильным белым шумом, но это следует из способа определения процесса.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Две модели (для условного среднего и дисперсии) идеально совместимы друг с другом, так как среднее значение процесса может быть смоделировано как ARMA, а дисперсии - как GARCH. Это приводит к полной спецификации модели ARMA (p, q) -GARCH (r, s) для процесса, как в следующем представлении $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
источник

Разве вы не должны обрабатывать информацию в момент времени если все регрессоры отстают?

t - 1

$t-1$

— Джейс

@Jase Обратите внимание на определение: «Здесь, - это информация, установленная в момент времени , которая является -алгеброй, генерируемой запаздывающими значениями процесса ». То есть . Некоторые авторы пишут это как но это противоречит понятию информации, установленной в момент времени .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— Чакраварти

Ницца! Знаете ли вы, почему мы используем сигма-алгебру, а не фильтрацию?

— Джейс

1

@Jase, последовательность информационных наборов составляет фильтрацию .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— Чакраварти

16

Редактировать: я понял, что ответа не хватало и, таким образом, предоставил более точный ответ (см. Ниже - или, возможно, выше). Я отредактировал это для фактических ошибок и оставляю это для отчета.

Различные параметры фокусировки:

ARMA - это модель для реализации случайного процесса, накладывающего определенную структуру условного среднего процесса.
GARCH - это модель для реализации случайного процесса, накладывающего специфическую структуру условной дисперсии процесса.

~~Стохастическая и детерминированная модель:~~

ARMA - это стохастическая модель в том смысле, что зависимая переменная - реализации случайного процесса - определяется как сумма детерминированной функции отстойной зависимой переменной и отстраненной ошибки модели (условное среднее) и члена стохастической ошибки.
GARCH является детерминированной моделью в том смысле, что зависимая переменная - условная дисперсия процесса - является чисто детерминированной функцией отстающих переменных.

— Ричард Харди
источник

1

Условная дисперсия процесса GARCH является детерминированной в вашем определенном смысле, а процесс GARCH - нет, поскольку и не зависят от лагов .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas

1

@mpiktas, правда. Если модель GARCH содержит два уравнения, одно для условного среднего (пример, который вы написали выше), а другое для условного отклонения (которое интуитивно, хотя и не математически, «главное уравнение» модели), мой аргумент применим только к последнему уравнению.

— Ричард Харди

10

ARMA

Рассмотрим который следует за процессом ARMA ( ). Предположим, для простоты он имеет нулевое среднее значение и постоянную дисперсию. Условно на информации , может быть разделен на известную (заранее определенную) часть (которая является условным средним для заданной ) и случайную часть : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

где - некоторая плотность. $D$

Условное среднее сам по себе следует процесс , подобный АРМА ( ) , но без случайного одновременного термина ошибки: где ; для ; и для . Обратите внимание, что этот процесс имеет порядок ( ), а не ( ), как . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Мы также можем записать условное распределение в терминах его прошлых условных средних (а не прошлых реализованных значений) и параметров модели как $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Последнее представление облегчает сравнение ARMA с GARCH и ARMA-GARCH.

GARCH

Рассмотрим который следует за процессом GARCH ( ). Предположим, для простоты оно имеет постоянное среднее. затем $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

где и - некоторая плотность. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

Условная дисперсия следует процесс , подобный АРМА ( ) , но без случайного одновременного термина ошибки. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Рассмотрим которое имеет безусловный средний ноль и следует процессу ARMA ( ) -GARCH ( ). затем $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

где ; - некоторая плотность, например, нормальная; для ; и для . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Процесс условного среднего из-за ARMA имеет по существу ту же форму, что и процесс условного отклонения из-за GARCH, могут отличаться только порядки отставания (учитывая ненулевое безусловное среднее значение не должно существенно изменить этот результат). Важно отметить, что ни один из них не имеет случайных членов ошибки, однажды обусловленных , таким образом, оба предопределены. $y_t$ $I_{t-1}$

— Ричард Харди
источник

3

Процессы ARMA и GARCH очень похожи в своей презентации. Разделительная линия между ними очень тонкая, так как мы получаем GARCH, когда для дисперсии ошибок предполагается процесс ARMA.

— user36853
источник

В чем разница между GARCH и ARMA?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH