В чем разница между GARCH и ARMA?


42

Я запутался. Я не понимаю разницы между процессом ARMA и GARCH .. для меня то же самое нет?

Вот процесс (G) ARCH (p, q)

σt2=α0+i=1qαirti2ARCH+i=1pβiσti2GARCH

А вот и ARMA ( ):p,q

Xt=c+εt+i=1pφiXti+i=1qθiεti.

Является ли ARMA просто расширением GARCH, GARCH используется только для возвратов и с предположением, что где следует за сильным белым процессом?r=σεε


1
В дополнение к ответу fg nu, процесс дисперсии в GARCH является изменяющимся во времени. Однако здесь есть хитрость в том, что с учетом временных рядов лог-возврата SP500, чтобы получить процесс волатильности, что мы должны делать? Некоторые люди говорят, что нам нужно использовать модель ARMA, чтобы вывести остаточный ряд, а затем включить этот остаточный ряд в модель GARCH, чтобы получить процесс условной дисперсии? Или напрямую подключите логарифмический процесс SP500 к логарифмическому возврату в модель GARCH, чтобы получить условную дисперсию?

Ответы:


48

Вы связываете особенности процесса с его представлением. Рассмотрим процесс возврата .(Yt)t=0

  • Модель ARMA (p, q) определяет условное среднее значение процесса как

E(YtIt)=α0+j=1pαjYtj+k=1qβkϵtk
Здесь - это информация, установленная в момент времени , которая является -алгеброй, генерируемой запаздывающими значениями результата процесса ,Ittσ(Yt)
  • Модель GARCH (r, s) задает условную дисперсию процесса
    V(YtIt)=V(ϵtIt)σt2=δ0+l=1rδjσtl2+m=1sγkϵtm2

Обратите внимание, в частности, на первую эквивалентность .V(YtIt)=V(ϵtIt)

Кроме того : на основе этого представления вы можете написать где - процесс с сильным белым шумом, но это следует из способа определения процесса.

ϵtσtZt
Zt
  • Две модели (для условного среднего и дисперсии) идеально совместимы друг с другом, так как среднее значение процесса может быть смоделировано как ARMA, а дисперсии - как GARCH. Это приводит к полной спецификации модели ARMA (p, q) -GARCH (r, s) для процесса, как в следующем представлении
    Yt=α0+j=1pαjYtj+k=1qβkϵtk+ϵtE(ϵtIt)=0,tV(ϵtIt)=δ0+l=1rδlσtl2+m=1sγmϵtm2t

Разве вы не должны обрабатывать информацию в момент времени если все регрессоры отстают? t1
Джейс

@Jase Обратите внимание на определение: «Здесь, - это информация, установленная в момент времени , которая является -алгеброй, генерируемой запаздывающими значениями процесса ». То есть . Некоторые авторы пишут это как но это противоречит понятию информации, установленной в момент времени . Ittσ(Yt)It=σ(Yt1,Yt2,)It1t
Чакраварти

Ницца! Знаете ли вы, почему мы используем сигма-алгебру, а не фильтрацию?
Джейс

1
@Jase, последовательность информационных наборов составляет фильтрацию . (It)t=0
Чакраварти

16

Редактировать: я понял, что ответа не хватало и, таким образом, предоставил более точный ответ (см. Ниже - или, возможно, выше). Я отредактировал это для фактических ошибок и оставляю это для отчета.


Различные параметры фокусировки:

  • ARMA - это модель для реализации случайного процесса, накладывающего определенную структуру условного среднего процесса.
  • GARCH - это модель для реализации случайного процесса, накладывающего специфическую структуру условной дисперсии процесса.

Стохастическая и детерминированная модель:

  • ARMA - это стохастическая модель в том смысле, что зависимая переменная - реализации случайного процесса - определяется как сумма детерминированной функции отстойной зависимой переменной и отстраненной ошибки модели (условное среднее) и члена стохастической ошибки.
  • GARCH является детерминированной моделью в том смысле, что зависимая переменная - условная дисперсия процесса - является чисто детерминированной функцией отстающих переменных.

1
Условная дисперсия процесса GARCH является детерминированной в вашем определенном смысле, а процесс GARCH - нет, поскольку и не зависят от лагов . rt=σtεtεtt
mpiktas

1
@mpiktas, правда. Если модель GARCH содержит два уравнения, одно для условного среднего (пример, который вы написали выше), а другое для условного отклонения (которое интуитивно, хотя и не математически, «главное уравнение» модели), мой аргумент применим только к последнему уравнению.
Ричард Харди

10

ARMA

Рассмотрим который следует за процессом ARMA ( ). Предположим, для простоты он имеет нулевое среднее значение и постоянную дисперсию. Условно на информации , может быть разделен на известную (заранее определенную) часть (которая является условным средним для заданной ) и случайную часть :ytp,qIt1ytμtytIt1ut

yt=μt+ut;μt=φ1yt1++φpytp+θ1ut1++θqutq  (known, predetermined);ut|It1 D(0,σ2)  (random)

где - некоторая плотность.D

Условное среднее сам по себе следует процесс , подобный АРМА ( ) , но без случайного одновременного термина ошибки: где ; для ; и для . Обратите внимание, что этот процесс имеет порядок ( ), а не ( ), как .μtp,q

μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm,
m:=max(p,q)φi=0i>pθj=0j>qp,mp,qyt

Мы также можем записать условное распределение в терминах его прошлых условных средних (а не прошлых реализованных значений) и параметров модели какyt

ytD(μt,σt2);μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm;σt2=σ2,

Последнее представление облегчает сравнение ARMA с GARCH и ARMA-GARCH.

GARCH

Рассмотрим который следует за процессом GARCH ( ). Предположим, для простоты оно имеет постоянное среднее. затемyts,r

ytD(μt,σt2);μt=μ;σt2=ω+α1ut12++αsuts2+β1σt12++βrσtr2;utσti.i.D(0,1),

где и - некоторая плотность.ut:=ytμtD

Условная дисперсия следует процесс , подобный АРМА ( ) , но без случайного одновременного термина ошибки.σt2s,r

ARMA-GARCH

Рассмотрим которое имеет безусловный средний ноль и следует процессу ARMA ( ) -GARCH ( ). затемytp,qs,r

ytD(μt,σt2);μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm;σt2=ω+α1ut12++αsuts2+β1σt12++βrσtr2;utσti.i.D(0,1),

где ; - некоторая плотность, например, нормальная; для ; и для .ut:=ytμtDφi=0i>pθj=0j>q


Процесс условного среднего из-за ARMA имеет по существу ту же форму, что и процесс условного отклонения из-за GARCH, могут отличаться только порядки отставания (учитывая ненулевое безусловное среднее значение не должно существенно изменить этот результат). Важно отметить, что ни один из них не имеет случайных членов ошибки, однажды обусловленных , таким образом, оба предопределены.ytIt1


3

Процессы ARMA и GARCH очень похожи в своей презентации. Разделительная линия между ними очень тонкая, так как мы получаем GARCH, когда для дисперсии ошибок предполагается процесс ARMA.

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.