Ситуация

Некоторые исследователи хотели бы усыпить вас. В зависимости от секретного броска справедливой монеты, они кратко разбудят вас один раз (головы) или два раза (хвосты). После каждого пробуждения они возвращают вас спать с лекарством, которое заставляет вас забыть это пробуждение. Когда вы проснетесь, в какой степени вы должны верить, что результатом броска монеты был Хедс?

(Хорошо, может быть, вы не хотите быть объектом этого эксперимента! Предположим, что Спящая красавица (СО) с этим согласна (конечно, с полным одобрением Инспекционного совета Волшебного Королевства). Она собирается пойти в спать сто лет, так что же еще один или два дня?)

[Деталь иллюстрации Максфилда Пэрриша .]

Вы Халфер или Thirder?

Позиция Halfer. Просто! Монета справедлива - и С.Б. это знает - поэтому она должна верить, что есть половина шансов на головы.

Третья позиция. Если этот эксперимент будет повторяться много раз, то монета станет головой только в трети времени пробуждения СБ. Ее вероятность для головы будет одна треть.

У Thirders есть проблема

Большинство, но не все, люди, которые написали об этом, являются третями. Но:

• В воскресенье вечером, незадолго до того, как С.Б. уснула, она должна поверить, что вероятность голов составляет половину: вот что значит быть честной монетой.

• Всякий раз, когда С.Б. просыпается, она не узнает абсолютно ничего, чего не знала в воскресенье вечером. Какой рациональный аргумент она может дать, утверждая, что ее вера в головы сейчас составляет треть, а не половину?

Некоторые попытки объяснения

• SB обязательно потеряет деньги, если будет делать ставки на головы с любыми коэффициентами, кроме 1/3. (Vineberg, среди прочего )

• Половина действительно верна: просто используйте эвереттовскую интерпретацию «многих миров» квантовой механики! (Льюис).

• С.Б. обновляет свою веру, основываясь на самовосприятии ее «временного положения» в мире. (Эльга, аа )

• С.Б. смущен: «Кажется более правдоподобным сказать, что ее эпистемологическое состояние после пробуждения не должно включать определенную степень веры в головы. … Реальная проблема заключается в том, как справляться с известной, неизбежной, когнитивной неисправностью ». [Арнтениус]

---

Вопрос

Учитывая то, что уже было написано на эту тему (см. Ссылки, а также предыдущий пост ), как этот парадокс может быть разрешен статистически строго? Это вообще возможно?

---

Рекомендации

Арнцениус, Франк (2002). Размышления об анализе спящей красавицы 62.1 с. 53-62.

Брэдли, DJ (2010). Подтверждение в разветвляющемся мире: интерпретация Эверетта и Спящая красавица . Британия J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Эльга, Адам (2000). Вера в себя и проблема спящей красавицы. Анализ 60 стр. 143-7.

Франчески, Пол (2005). Спящая красавица и проблема сокращения мира . Препринт.

Гройсман, Берри (2007). Конец кошмара Спящей красавицы . Препринт.

Льюис Д. (2001). Спящая красавица: ответ Эльге . Анализ 61,3 с. 171-6.

Папино, Давид и Виктор Дура-Вила (2008). Thirder и Everettian: ответ на «Квантовая Спящая Красавица» Льюиса .

Пуст, Джоэл (2008). Хорган о Спящей красавице . Синтез 160 с. 97-101.

Винеберг, Сьюзен (без даты, возможно, 2003). Предостерегающая сказка красоты .

стратегия

Я хотел бы применить рациональную теорию принятия решений к анализу, потому что это один из устоявшихся способов достижения строгости при решении проблемы статистического решения. При попытке сделать это возникает одна особенность: изменение сознания СБ.

• Рациональная теория принятия решений не имеет механизма для обработки измененных психических состояний.

• Спрашивая у С.Б. ее доверие в подбрасывании монеты, мы одновременно относимся к ней в некоторой степени как к себе (как к предмету (из эксперимента СО)), так и к экспериментатору (относительно броска монеты).

Давайте изменим эксперимент несущественным образом: вместо того, чтобы вводить препарат для стирания памяти, приготовьте конюшню клонов «Спящей красавицы» непосредственно перед началом эксперимента. (Это ключевая идея, потому что она помогает нам противостоять отвлекающим - но в конечном итоге не относящимся к делу и вводящим в заблуждение - философским вопросам.)

• Клоны похожи на нее во всех отношениях, включая память и мысли.

• СБ полностью осознает, что это произойдет.

Мы можем клонировать, в принципе. ET Джейнс заменяет вопрос «как мы можем построить математическую модель человеческого здравого смысла» - то, что нам нужно для того, чтобы продумать проблему «Спящей красавицы», - «Как мы можем построить машину, которая могла бы выполнять полезные правдоподобные рассуждения, следовать четко определенным принципам, выражающим идеализированный здравый смысл? Таким образом, если хотите, замените SB на мыслящего робота Джейнса и клонируйте его.

(Были и остаются противоречия по поводу «мыслящих» машин.

«Они никогда не сделают машину, которая заменит человеческий разум - она ​​делает много вещей, которые ни одна машина не могла бы сделать».

Вы настаиваете на том, что машина ничего не может сделать. Если вы мне точно скажете, что машина не может сделать, то я всегда могу сделать машину, которая будет делать именно это! »

--J. фон Нейман, 1948. Цитируется Э.Т. Джейнсом в теории вероятностей: логика науки , с. 4.)

Рубе Голдберг

Эксперимент "Спящая красавица"

Подготовьте одинаковых копии СБ (включая СБ) в воскресенье вечером. Все они ложатся спать одновременно, возможно, на 100 лет. Всякий раз, когда вам нужно разбудить SB во время эксперимента, случайным образом выберите клона, который еще не пробудился. Любые пробуждения произойдут в понедельник и, если необходимо, во вторник.$n \ge 2$

Я утверждаю, что эта версия эксперимента создает точно такой же набор возможных результатов, вплоть до психических состояний С.Б. и осознанности, с точно такими же вероятностями. Это потенциально является одним из ключевых моментов, когда философы могут решить атаковать мое решение. Я утверждаю, что это последний момент, когда они могут атаковать его, потому что оставшийся анализ является рутинным и строгим.

Сейчас мы применяем обычный статистический механизм. Начнем с выборочного пространства (возможных экспериментальных результатов). Пусть означает «пробуждает понедельник», а означает «пробуждает вторник». Аналогично, пусть означает «головы» и «t» означает хвосты. Подписать клоны с целыми числами . Затем возможные экспериментальные результаты могут быть записаны (как я надеюсь, в прозрачной, самоочевидной записи) как наборT h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Вероятности понедельника

Как один из клонов SB, вы полагаете, что ваш шанс на пробуждение в понедельник во время эксперимента с хедз-апом составляет ( вероятности попадания в голову) раз ( шанс, что я выбран как клон, который пробудился). В более технических терминах:1 /$1/2$$1/n$

• Множество исходов голов . Их .$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Событие, когда вы просыпаетесь с головами, это .$h(i) = \{hM_i\}$

• Вероятность какого - либо конкретного клона SB пробуждаются с монетой , показывая головы равнаPr [ h ( i ) ] = Pr [ h ] × Pr [ h ( i ) | ч ] = $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Вторник вероятности

• Множество исходов хвостов: . Есть из них. Все одинаково вероятно, по замыслу.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Вы, клон , проснулись в из этих случаев; а именно, способов пробуждения в понедельник (во вторник осталось оставшихся клонов), а также способов пробуждения во вторник ( возможных клонов понедельника). Назовите это событие .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$n - 1 n - 1 t ( i $n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Ваш шанс на пробуждение во время эксперимента с хвостами равен

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Теорема Байеса

Теперь, когда мы зашли так далеко, теорема Байеса - математическая тавтология вне всяких споров - заканчивает работу. Таким образом, вероятность попадания голов любого клона

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Поскольку С.Б. неотличима от ее клонов - даже для себя! - это ответ, который она должна дать, когда ее спросят о ее степени веры в голову.

Интерпретации

Вопрос «какова вероятность появления голов» имеет два разумных толкования для этого эксперимента: он может попросить дать шанс честной монете приземлить головы, что равно (ответ Halfer), или он может попросите шанс, что монета приземлится головой, при условии, что вы пробудились клоном. Это (ответ Thirder).Pr [ ч | т ( я ) ∪ ч ( я ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

В ситуации, в которой обнаруживается СБ (или, вернее, любой из множества одинаково подготовленных мыслящих машин Джейнса), этот анализ - который провели многие другие (но я думаю менее убедительно, потому что они не так явно устраняли философские отвлекающие факторы) в экспериментальных описаниях) - поддерживает ответ Thirder.

Ответ Halfer является правильным, но неинтересным, поскольку он не имеет отношения к ситуации, в которой находится SB. Это разрешает парадокс.

Это решение разработано в контексте единой четко определенной экспериментальной установки. Уточнение эксперимента проясняет вопрос. Четкий вопрос приводит к четкому ответу.

Комментарии

Я предполагаю, что, следуя Elga (2000), вы могли бы правомерно охарактеризовать наш условный ответ как «считать [ваше] ваше временное местоположение релевантным истине h», но эта характеристика не добавляет понимания проблемы: она только умаляет математические факты в доказательство. Мне кажется, это просто неясный способ утверждать, что «клонирование» интерпретации вопроса о вероятности является правильным.

Этот анализ показывает, что основной философской проблемой является проблема идентичности : что происходит с клонами, которые не пробудились? Какие когнитивные и ноэтические отношения существуют между клонами? - но это обсуждение не является вопросом статистического анализа; он принадлежит другому форуму .

Спасибо за этот блестящий пост (+1) и решение (+1). Этот парадокс уже вызывает у меня головную боль.

Я просто подумал о следующей ситуации, которая не требует фей, чудес или волшебных зелий. Переверните честную монету в полдень понедельника. После «Хвостов» отправьте письмо Алисе и Бобу (таким образом, чтобы они не знали, что другой получил от вас письмо, и что они не могут общаться). После «Голов» отправьте письмо одному из них случайным образом (с вероятностью ).$1/2$

Когда Алиса получает письмо, какова вероятность того, что монета окажется на «Головах»? Вероятность того, что она получит письмо, равна , а вероятность того, что монета приземлилась на «Голову», равна .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Здесь нет никакого парадокса, потому что Алиса не получает письмо с вероятностью , и в этом случае она знает, что монета находится на «Головах». Тот факт, что мы не спрашиваем ее мнения в этом случае, делает эту вероятность равной 0 .$1/4$

Так в чем же разница? Зачем Алисе получать информацию, получая почту, а СБ ничего не узнает, когда ее разбудили?

Переходя к более чудесной ситуации, мы усыпляем 2 разных СО. Если монета приземляется на «Хвосты», мы просыпаемся обеими, если она приземляется на «Головах», мы пробуждаем одну из них наугад. И здесь каждый из СБ должен сказать, что вероятность посадки монеты на «Головах» равна и опять нет никакого парадокса, потому что есть вероятность что этот СБ не будет пробужден.1 /$1/3$$1/4$

Но эта ситуация очень близка к первоначальному парадоксу, потому что стирание памяти (или клонирование) эквивалентно наличию двух разных SB. Итак, я с @Douglas Zare здесь (+1). SB научился чему-то, пробудившись. Тот факт, что она не может выразить свое мнение во вторник, когда монета «голова», потому что она спит, не стирает информацию, которую она получила, будучи пробужденной.

По моему мнению, парадокс заключается в том, что « она абсолютно ничего не выучила, чего не знала в воскресенье вечером », что изложено без объяснения причин. У нас такое впечатление, потому что ситуации, когда она пробуждается, идентичны, но это похоже на то, как Алиса получает письмо: именно тот факт, что ее спрашивают ее мнение, дает ей информацию.

ОСНОВНОЕ РЕДАКТИРОВАНИЕ : После глубокого размышления я меняю свое мнение: «Спящая красавица» ничему не научилась, и приведенный выше пример не является хорошим аналогом ее ситуации.

Но здесь есть эквивалентная проблема, которая не парадоксальна. Я мог бы сыграть в следующую игру с Алисой и Бобом: я тайно подбрасываю монету и независимо ставлю 1 $, чтобы они не могли ее угадать. Но если монета выпала на «Хвосты», ставка Алисы Боба отменяется (деньги не переходят из рук в руки). Учитывая, что они знают правила, на что им делать ставку?

«Головы», очевидно. Если монета попадает на «Голову», они получают 1 доллар , в противном случае они теряют в среднем 0,5 доллара . Означает ли это, что они полагают, что у монеты есть шанс 2/3 приземлиться на «головы»? Точно нет. Просто протокол таков, что они не получают одинаковую сумму денег за каждый ответ.

Я считаю, что Спящая красавица находится в той же ситуации, что и Алиса или Боб. События не дают ей никакой информации о броске , но если ее попросят сделать ставку, ее шансы не равны 1: 1 из-за асимметрии в выигрыше. Я считаю, что именно это @whuber подразумевает под

Ответ Halfer является правильным, но неинтересным, поскольку он не имеет отношения к ситуации, в которой находится SB. Это разрешает парадокс.

«Всякий раз, когда С.Б. просыпается, она не узнает абсолютно ничего, чего не знала в воскресенье вечером». Это неправильно, так же как и сказать: «Я выиграл в лотерею или нет, поэтому вероятность составляет ». Она узнала, что проснулась. Это информация. Теперь она должна верить, что каждое возможное пробуждение одинаково вероятно, а не подбрасывание каждой монеты.$50\%$

Если вы врач, и пациент заходит в ваш кабинет, вы узнали, что пациент зашел в кабинет врача, что должно изменить вашу оценку по сравнению с предыдущим. Если все обращаются к врачу, но больная половина населения проходит в раз чаще, чем здоровая половина, тогда, когда пациент входит, вы знаете, что пациент, вероятно, болен.$100$

Вот еще одно небольшое изменение. Предположим, каким бы ни был исход броска монеты, «Спящую красавицу» разбудят дважды. Однако, если это хвосты, она будет хорошо просыпаться дважды. Если это головы, она однажды проснется хорошо, и однажды ей будет брошено ведро льда. Если она просыпается в куче льда, у нее есть информация о том, что монета выпала из головы. Если она хорошо просыпается, у нее есть информация, что монета, вероятно, не всплыла. У нее не может быть невырожденного теста, положительный результат которого (лед) говорит, что ее головы более вероятны без отрицательного результата (хороший), указывающего, что головы менее вероятны.

Парадокс заключается в изменении перспективы между одним экспериментом и его предельной точкой. Если принять во внимание количество экспериментов, вы можете понять это даже более точно, чем «или / или» из половины и третей:

Одиночный эксперимент: Хэлверс прав

Если есть один эксперимент, есть три результата, и вам просто нужно вычислить вероятности с точки зрения пробужденного:

1. Головы были брошены: 50%
2. Хвосты были брошены, и это мое первое пробуждение: 25%
3. Хвосты были брошены, и это мое второе пробуждение: 25%

Таким образом, в одном эксперименте, при любом событии пробуждения, вы должны предположить 50/50, что вы находитесь в состоянии, когда головы были брошены

Два эксперимента: 42% правы

Теперь попробуйте два эксперимента:

1. Головы подбрасывали дважды: 25% (для обоих пробуждений вместе взятых)
2. Хвосты подбрасывали дважды: 25% (для всех четырех пробуждений вместе взятых)
3. Heads затем Tails, и это мое первое пробуждение: 25% / 3
4. Heads затем Tails, и это мое второе или третье пробуждение: 25% * 2/3
5. Хвосты, затем головы и это мое 1-е или 2-е пробуждение: 25% * 2/3
6. Хвосты, затем головы, и это мое третье пробуждение: 25% / 3.

Итак, {1, 3, 6} - это состояния ваших Глав с общей вероятностью (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, что составляет менее 50%. Если во время любого пробуждения будут проведены два эксперимента, вы должны предположить, что 41,66% вероятности окажутся в состоянии, когда были брошены головы

Бесконечные эксперименты: правы третьи

Я не собираюсь здесь заниматься математикой, но если вы посмотрите на варианты двух экспериментов, вы увидите, что № 1 и № 2 ведут его к половинкам, а остальные - к третям. По мере увеличения количества экспериментов, варианты, движущиеся к половинкам (все головы / все хвосты), будут уменьшаться с вероятностью до нуля, оставляя варианты «третей», которые будут приняты. Если проводятся бесконечные эксперименты, при любом событии пробуждения вы должны предположить, что 1/3 вероятности, что вы находитесь в состоянии, когда были брошены головы

Выжимки реторты:

Но азартные игры?

Да, в одном случае эксперимента, вы все равно должны играть на треть. Это не противоречие; это просто потому, что вы можете делать одну и ту же ставку несколько раз при определенном исходе и знать об этом заранее. (Или, если вы этого не сделаете, мафия делает).

Хорошо, а как насчет двух отдельных экспериментов? Расхождение много?

Нет, потому что знание того, участвуете ли вы в первом или втором эксперименте, увеличивает ваши знания. Давайте посмотрим на варианты «двух экспериментов» и отфильтруем их, зная, что вы находитесь в первом эксперименте.

1. Применимо для первого пробуждения (1/2)
2. Применимо для первых двух пробуждений (2/4)
3. применимый
4. Никогда не применимо
5. Применимо для первого пробуждения (1/2)
6. Непригодный

Хорошо, возьмите головы (1,3,6), умножьте их, шансы на применимость: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Теперь возьмите Хвосты (2,4,5) и сделайте то же самое: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Виола, они одинаковые. Добавленная информация о том, в каком эксперименте вы находитесь на самом деле, корректирует шансы того, что вы знаете.

Но, клоны!

Проще говоря, вопреки постулату ответа ОП, клонирование создает эквивалентный эксперимент: клонирование плюс случайный выбор действительно изменяют знания экспериментатора, точно так же, как «множественные эксперименты» изменяют эксперимент. Если есть два клона, вы можете видеть вероятности каждого клона, соответствующие вероятностям двух экспериментов . Бесконечные клоны сходятся к третерам. Но это не тот же эксперимент, и это не то же знание, что и отдельный эксперимент с одним неслучайным субъектом.

Вы говорите «случайный бесконечный», а я говорю «Аксиома выбора»

Я не знаю, моя теория множеств не так уж велика. Но, учитывая, что N меньше бесконечности, вы можете установить некоторую последовательность, которая сходится от половины до трети, бесконечный случай, равный трети, в худшем случае будет истинным или неразрешимым, независимо от того, какие аксиомы вы используете.

Давайте изменим проблему.

Если монета выпадает из головы, то SB никогда не пробуждается.

Если Хвосты, то СБ пробуждается один раз.

Теперь в лагерях стоят Halfers и Zeroers. И ясно, что нули верны.

Или: головы -> проснулся один раз; Хвосты -> просыпаются миллион раз. Очевидно, что, учитывая, что она не спит, это, скорее всего, хвосты.

(PS По поводу «новой информации» - информация, возможно, была УНИЧТОЖЕНА. Итак, другой вопрос: потеряла ли она информацию, которую когда-то имела?)

«Всякий раз, когда С.Б. просыпается, она не узнает абсолютно ничего, чего не знала в воскресенье вечером».

Это не правильно, что является ошибкой в ​​аргументе halfer. Одна вещь, с которой трудно поспорить, так это то, что аргумент о недооценке, основанный на этом утверждении, редко выражается более строго, чем то, что я цитировал.

Есть три проблемы. Во-первых, аргумент не определяет, что означает «новая информация». Похоже, это означает, что «событие, которое изначально имело ненулевую вероятность, не могло произойти на основании доказательств». Во-вторых, он никогда не перечисляет то, что известно в воскресенье, чтобы увидеть, соответствует ли это определение; и может, если вы посмотрите на это правильно. Наконец, нет теоремы, которая гласит: «Если у вас нет новой информации такого рода, вы не сможете обновить». Если он у вас есть, теорема Байеса выдаст обновление. Но ошибочно заключать, что если у вас нет этой новой информации, вы не можете ее обновить. Быть заблуждением не означает, что это неправда, это означает, что вы не можете сделать этот вывод, основываясь только на этих доказательствах.

В воскресенье вечером, скажем, SB бросает воображаемый шестигранный штамп. Поскольку это воображаемо, она не может посмотреть на результат. Но цель состоит в том, чтобы увидеть, соответствует ли оно дню, когда она не спит: четное число означает, что оно соответствует понедельнику, а нечетное число означает вторник. Но это не может совпасть с обоими, что эффективно различает два дня.

Теперь SB может (то есть в воскресенье) рассчитать вероятность для восьми возможных комбинаций {Heads / Tails, Monday / Tuesday, Match / No Match}. Каждый будет 1/8. Но когда она не спит, она знает, что {Heads, Tuesday, Match} и {Heads, Tuesday, No Match} не произошло. Это составляет «новую информацию» в форме, которую аргумент халсеров утверждает, что не существует, и это позволяет SB обновить вероятность того, что монета исследователя упала на головы. Это 1/3, соответствует ли ее воображаемая монета фактическому дню. Так как это одинаково в любом случае, это 1/3, знает ли она, есть ли совпадение или нет; и на самом деле, катит она или нет, или воображает, что катится, умирает.

Этот дополнительный кубик, кажется, нужно пройти, чтобы получить результат. На самом деле в этом нет необходимости, но вам нужно другое определение «новой информации», чтобы понять, почему. Обновление может происходить в любое время, когда значимые (т.е. независимые и не имеющие нулевой вероятности) события в пространстве предыдущей выборки отличаются от значимых событий в пространстве задней выборки. Таким образом, знаменатель отношения в теореме Байеса не равен 1. Хотя это обычно происходит, когда свидетельство делает некоторые события равными нулю, оно также может происходить, когда свидетельство изменяет, являются ли события независимыми. Это очень неортодоксальная интерпретация, но она работает, потому что Красоте дается более одной возможности наблюдать за результатом. И смысл моего воображаемого кубика, который отличал дни, состоял в том, чтобы сделать систему такой, где полная вероятность была равна 1.

В воскресенье SB знает P (пробуждение, понедельник, головы) = P (пробуждение, понедельник, хвосты) = P (пробуждение, вторник, хвосты) = 1/2. Они составляют более 1/2, потому что события не являются независимыми, основываясь на информации, которую SB имеет в воскресенье. Но они независимы, когда она не спит. Ответ, согласно теореме Байеса, равен (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Нет ничего плохого в знаменателе, который больше 1; но аргумент воображаемой монеты был разработан для достижения тех же целей без такого знаменателя.

Я просто перепутал это. С тех пор как я написал этот пост, я усовершенствовал некоторые из своих мыслей и подумал, что могу найти здесь восприимчивую аудиторию.

Прежде всего, о философии того, как разрешить такой спор: скажем, существуют аргументы А и В. У каждого есть предпосылка, последовательность выводов и результат; и результаты отличаются.

Лучший способ доказать, что один аргумент неверен, - сделать недействительным один из его выводов. Если бы это было возможно здесь, не было бы спора. Другой - опровергнуть предпосылку, но вы не можете сделать это напрямую. Вы можете поспорить, почему вы не верите одному, но это ничего не решит, если вы не сможете убедить других прекратить верить в это.

Чтобы косвенно доказать ошибочную предпосылку, вы должны сформировать альтернативную последовательность выводов из нее, что приведет к абсурду или противоречию предпосылки. Ошибочный способ состоит в том, чтобы утверждать, что противоположный результат нарушает вашу предпосылку. Это означает, что кто-то не прав, но это не означает, что именно.

+++++

Предположение халфера - «нет новой информации». Их последовательность выводов пуста - ничего не нужно. Pr (Головы | Пробуждение) = Pr (Головы) = 1/2.

У третей (в частности, Elga) есть две предпосылки - что Pr (H1 | Awake и понедельник) = Pr (T1 | Awake и понедельник) и Pr (T1 | Awake и Tails) = Pr (T2 | Awake и Tails). Тогда неопровержимая последовательность выводов приводит к Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Обратите внимание, что третьи лица никогда не предполагают, что есть новая информация - их предпосылки основаны на любой существующей информации - «новой» или нет - когда SB не спит. И я никогда не видел, чтобы кто-то спорил о том, почему предположение неверно, за исключением того, что оно нарушает результат более простого предложения. Таким образом, халферы не представили ни одного из действительных аргументов, которые я перечислил. Просто ошибочный.

Но возможны и другие выводы из «нет новой информации» с последовательностью выводов, которые начинаются с Pr (Heads | Awake) = 1/2. Одним из них является то, что Pr (Heads | Awake и Monday) = 2/3 и Pr (Tails | Awake and Monday) = 1/3. Это противоречит исходной посылке, но, как я уже сказал, это не помогает причиной недоумка, так как это может быть ошибочной предпосылкой. По иронии судьбы, этот результат что-то доказывает - что предположение о противоречии само по себе противоречит. В воскресенье SB сообщает Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday), поэтому добавление информации «Пробудитесь» позволило ей обновить эти вероятности. Это новая информация.

Итак, я доказал, что предположение не может быть правильным. Это не означает, что трети правы, но это означает, что халферы не предоставили никаких противоположных доказательств.

+++++

Есть еще один аргумент, который я считаю более убедительным. Это не совсем оригинально, но я не уверен, была ли подчеркнута правильная точка зрения. Рассмотрим вариант эксперимента: SB всегда пробуждается в оба дня; обычно он находится в комнате, окрашенной в синий цвет, но во вторник после головы он находится в комнате, окрашенной в красный цвет. Что она должна сказать, вероятность Хедс, если она обнаруживает, что не спит в голубой комнате?

Я не думаю, что кто-то мог бы серьезно утверждать, что это что-то кроме 1/3. Есть три ситуации, которые могут соответствовать ее текущей, все одинаково вероятны, и только одна включает Главы.

Существенным моментом является то, что нет никакой разницы между этой версией и оригиналом. То, что она «знает» - ее «новая информация» - это то, что это не H2. Неважно, как или если бы она знала, что это может быть H2, если это возможно. Ее способность наблюдать ситуации, которые, как она знает, не применимы, не имеет значения, если она знает, что они не применяются.

Я не могу поверить, что предпосылка Halfer. Это основано на факте - что она не может наблюдать H2 - это не имеет значения, так как она может наблюдать, что это не H2.

Поэтому я надеюсь, что я привел убедительный аргумент в пользу того, что предпосылка о недопустимом недопустимом. Попутно я знаю, что продемонстрировал, что результат в третьем должен быть правильным.

Одна треть возможных пробуждений - это пробуждения Голов, а две трети возможных пробуждений - пробуждения Хвостов. Тем не менее, одна половина принцесс (или что-то еще) - принцессы Глав, и одна половина - принцессы Хвостов. Принцессы Хвостов, по отдельности и в совокупности, испытывают вдвое больше пробуждений, чем принцессы Голов.

С точки зрения принцессы, после пробуждения, есть три возможности. Она или Принцесса из Головы, пробуждающаяся в первый (и единственный) раз ( ), Принцесса из хвостов, пробуждающаяся в первый раз ( ), или Принцесса из хвостов, пробуждающаяся во второй раз ( ). Кажется, нет оснований предполагать, что эти три результата одинаково вероятны. Скорее , и .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Я не читал рассуждения Винеберга, но думаю, что вижу, как она добилась справедливой ставки в . Предположим, что каждый раз, когда принцесса просыпается, она делает ставку что она принцесса Heads, получая 1 доллар, если она действительно принцесса Heads, и 0 долларов в противном случае. Затем принцесса Heads получит , а принцесса Хвостов будет получать каждый раз, когда играет. Поскольку принцессы Хвостов должны играть дважды, а половина принцесс - принцессы Хедс, ожидаемая прибыль , а справедливая цена .$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Обычно это будет неопровержимым доказательством того, что вероятность составляет , но обычные рассуждения в этом случае не верны: принцессы, которым суждено проиграть ставку, обязаны играть в игру дважды, тогда как те, кому суждено выиграть, будут играть только один раз! Этот дисбаланс расцепляет обычные отношения между вероятностями и справедливыми ставками.$1/3$

(С другой стороны, техник, которому поручено помогать с процессом бодрствования, на самом деле имел бы только одну треть вероятности быть назначенным на принцессу Глав.)

Когда вы проснетесь, в какой степени вы должны верить, что результатом броска монеты был Хедс?

Что вы подразумеваете под « должен »? Каковы последствия моих убеждений? В такой эксперимент я бы не поверил. Этот вопрос помечен как decision-theory, но, так как этот эксперимент задуман, у меня нет стимула принимать решение.

Мы можем изменить эксперимент по-разному, так что я чувствую склонность дать ответ. Например, я могу догадаться, проснулся ли я из-за «Голов» или «Хвостов», и я получал бы конфету за каждый правильный ответ, который я даю. В этом случае, очевидно, я бы выбрал «Хвосты», потому что в повторных экспериментах я зарабатывал в среднем одну конфету за эксперимент: в 50% случаев бросок был бы «Хвостом», я бы проснуться дважды, и я бы заработал конфету оба раза. В остальных 50% («Головки») я ничего не заработаю. Если бы я отвечал «Головы», я бы зарабатывал только половину конфеты за эксперимент, потому что у меня был только один шанс ответить, и я был бы прав в 50% случаев. Если бы я сам бросил честную монету за ответ, я$3/4$

Другая возможность - заработать конфету за каждый эксперимент, в котором все мои ответы были правильными. В этом случае не имеет значения, какой систематический ответ я даю, поскольку в среднем я буду зарабатывать половину конфеты за эксперимент: если я решу отвечать на «Головы» все время, я буду прав в 50% случаев, и то же самое относится к «Хвостам». Только если бы я бросил монету сам, я бы заработал конфеты: в 50% случаев исследователи бросали бы «Головки», а в 50% я бы тоже бросал «Головки», зарабатывая мне конфеты. В остальных 50% случаев, когда исследователи бросали «Хвосты», мне приходилось бросать «Хвосты» дважды,$3/8$$1/4$$1/4$из случаев, так что это принесет мне только конфеты.$1/8$

как разрешить этот парадокс статистически строгим образом? Это вообще возможно?

Определите « статистически строгий путь ». Вопрос о вере не имеет практического значения. Только действия имеют значение.

Вопрос двусмысленный, поэтому парадоксу кажется только . Вопрос ставится так:

Когда вы проснетесь, в какой степени вы должны верить, что результатом броска монеты был Хедс?

Что смущает этот вопрос:

Когда вы проснулись, в какой степени вы должны верить, что Хедс был причиной вашего пробуждения ?

В первом вопросе вероятность равна 1/2. Во втором вопросе 1/3.

Проблема в том, что первый вопрос сформулирован, но второй вопрос подразумевается в контексте эксперимента. Те, кто подсознательно принимает значение, говорят, что это 1/3. Те, кто читает вопрос, буквально говорят, что это 1/2.

Те, кто запутался, не уверены, какой вопрос они задают!

Мне очень нравится этот пример, но я бы сказал, что есть один момент, который нужно смешивать с парой отвлекающих факторов.

Чтобы избежать неприятных отвлекающих факторов, один спорный должен попытаться различить абстрактное схематическое представление проблемы, которое явно вне разумного сомнения (как адекватное представление) и может быть проверено манипулируемо (повторно манипулировано квалифицированными другими), чтобы продемонстрировать притязания. В качестве простого примера представьте (абстрактный математический) прямоугольник и утверждайте, что он может быть разбит на два треугольника.

Нарисуйте прямоугольник свободной рукой как представление математического прямоугольника (на вашем рисунке четыре угла не будут добавлены точно к 180 градусам, а соседние линии не будут точно равными или прямыми, но не будет никаких реальных сомнений в том, что он представляет собой настоящий прямоугольник ). Теперь манипулируйте им, рисуя линию от одного противоположного угла к другому, что любой другой может сделать, и вы получите представление о двух треугольниках, в которых никто не будет разумно сомневаться. Любое сомнение в том, что это так глупо, просто так.

Смысл, который я пытаюсь здесь подчеркнуть, заключается в том, что, если вы получаете за пределами разумного сомнения представление о проблеме SB как совместное распределение вероятностей и можете обусловить событие, которое происходит в эксперименте, в этом представлении, - тогда утверждается, что что-то изучено этим событием можно продемонстрировать поддающиеся проверке манипуляции и не требовать (философского) обсуждения или опроса.

Теперь я лучше представлю свою попытку, и читатели должны будут различить, добился ли я успеха. Я буду использовать дерево вероятностей для представления совместных вероятностей для дневного сна в экспериментах (DSIE), результата броска монеты в понедельник (CFOM) и пробуждения, если один спал в эксперименте (WGSIE). Я нарисую его (на самом деле просто напишу здесь) в терминах p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Я хотел бы назвать DSIE и CFOM возможными неизвестными, а WGSIE - возможными известными, тогда p (DSIE, CFOM) является приоритетом, а p (WGSIE | DSIE, CFOM) - моделью данных или вероятности, и применяется теорема Байеса, без этой маркировки просто условная вероятность, которая логически то же самое.

Теперь мы знаем, что p (DSIE = понедельник) + p (DSIE = Вт) = 1 и p (DSIE = Вт) = ½ p (DSIE = понедельник)

поэтому p (DSIE = Mon) = 2/3 и p (DSIE = Вт) = 1/3.

Теперь P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Вт) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Всегда равно единице.

До равных

P (DSIE = Mon, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Mon, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Вт, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Таким образом, маргинальный априор для CFOM = 1/3 H и 2/3 T, а задний, учитывая, что вы проснулись во время сна во время эксперимента, - будет таким же (так как обучение не происходит) - поэтому ваш приор составляет 2/3 T.

Хорошо - где я ошибся? Нужно ли пересматривать мою теорию вероятностей?

Простым объяснением этого может быть то, что спящая красавица может пробудиться тремя способами, два из которых - от броска Хвоста. Таким образом, вероятность должна быть 1/3 для головы каждый раз, когда она просыпается. Я изложил его в блоге пост

Основным аргументом против «недобросовестной» точки зрения является следующее: в байесовском смысле С.Б. всегда ищет, какую новую информацию она имеет. В действительности, в тот момент, когда она решила принять участие в эксперименте, у нее есть дополнительная информация, что, когда она проснется, это может произойти в ближайшие дни. Или, другими словами, недостаток информации (стирание памяти) - вот что предоставляет доказательства, хотя и неуловимо.

Как много вопросов, это зависит от точного значения вопроса:

Когда вы проснетесь, в какой степени вы должны верить, что результатом броска монеты был Хедс?

Если вы интерпретируете это как «каковы шансы, что брошенная монета - это головы», очевидно, ответ - «половина шансов».

Но то, что вы спрашиваете, не является (в моей интерпретации) этим, но «какова вероятность того, что текущее пробуждение было вызвано головами?». В этом случае, очевидно, только одна треть пробуждений вызвана головами, поэтому наиболее вероятный ответ - «Хвосты».

Это очень интересный вопрос. Я дам свой ответ, как если бы я был спящей красавицей. Я чувствую, что ключевой момент для понимания - это то, что мы на 100% доверяем экспериментатору.

1) В воскресенье вечером, если вы спросите меня, какова вероятность того, что монета является головой, я скажу вам .$\frac{1}{2}$

2) Всякий раз, когда вы меня разбудите и спросите, я скажу вам .$\frac{1}{3}$

3) Когда вы скажете мне, что это последний раз, когда вы меня разбудили, я немедленно переключусь на сообщение, что вероятность равна .$\frac{1}{2}$

Ясно, что (1) следует из того факта, что монета справедлива. (2) следует из того факта, что, когда вы проснулись, вы находитесь в одной из 3 одинаково вероятных ситуаций с вашей точки зрения. Каждый из них может произойти с вероятностью .$\frac{1}{2}$

Затем (3) следует таким же образом, за исключением того, что, как только вам скажут, что это последний раз, когда вы пробуждаетесь, количество ситуаций, в которых вы можете оказаться, уменьшается до 2 (как сейчас хвосты и это первый раз, когда вы были разбудить невозможно).

Я собираюсь решить эту проблему для общего случая, когда SB пробуждается раз после «Heads» и « » раз после «Tails» с .n m ≤ $m$$n$$m≤n$

В частности, если монета «Голова», она будет разбужена ...

день 1
день 2 день
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$m$

... и если монета "Хвосты", она будет разбужена ...

день 1
день 2 день
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

Тогда для этого конкретного вопроса, будет и . Я не собираюсь делать предположения, буду использовать только предоставленную информацию о том, что монета справедлива, поэтому перед ее пробуждением это После пробуждения С.Б. она не знает, какой сегодня день или проснулась ли она раньше. Она только знает, что честная монета была брошена с возможными результатами «Головы» и «Хвосты». Она также знает , что пробуждение происходит на «1 день» или «день 2» или , или «день ». Для возможного результата «глав», есть « » возможные результаты , которые я назвать , , , .n = 2 P ( H e a d s ) = P ( T a i l s ) = 1 / 2. … n m D 1 D 2 … D $m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

D 2 D 3 ⋯ ⋯ D м$D_1$ : это пробуждение происходит в «день 1» : это пробуждение происходит в «день 2» : это пробуждение происходит в «день 3» : это пробуждение происходит в «день »
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

Для возможного результата «Хвосты» существует « » возможных результатов, включая « » возможных результатов, указанных выше.$n$$m$

$D_1$ : это пробуждение происходит в «день 1» : это пробуждение происходит в «день 2» : это пробуждение происходит в «день 3» : это пробуждение происходит в «день »
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

Таким образом, есть возможных результатов. Теперь , учитывая монета высадился «решки», события , , , равновероятны. Поэтому ... Кроме того, учитывая, что монета приземлилась 'Хвосты', события , , , одинаково вероятны. Поэтому ... Теперь для любого возможного события где является целым числом и$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ для , очевидно ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

Теперь давайте вычислим вероятности возможных событий , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

для для$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

Теперь мы можем рассчитать вероятность «головы», если SB не спит. Как было сказано выше, возможные события после пробуждения являются , , , . Поэтому вероятность ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

У нас уже есть ответ, но давайте также вычислим вероятность «Голов» или «Хвостов», учитывая, что пробуждение происходит в определенный день

для$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

для$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Я знаю, что это не ответ для тех, кто верит ответу "1/3". Это просто простое использование условных вероятностей. Таким образом, я не считаю эту проблему неоднозначной и, следовательно, парадоксом. Это, однако, сбивает с толку читателя, делая неясным, какие случайные эксперименты и какие возможные события этих экспериментов.

Поскольку спящая красавица не может вспомнить, сколько раз она просыпалась раньше, мы не смотрим на вероятность голов, учитывая, что она проснулась только один раз, а на вероятность голов, если она проснулась хотя бы один раз:

Итак, мы имеем: а не$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Таким образом, ответ составляет 50% (половина участников права), и в этом нет никакого парадокса.

Люди, кажется, делают это намного, намного сложнее, чем на самом деле!

Non-statistially

Спящая красавица во всей своей врожденной гениальности может провести гипотетический эксперимент во сне, который сформирует ее веру:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Выход:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Так что наша Спящая красавица поверит, что лучше угадывать хвосты.

А статистически?

Вышеприведенный алгоритм не a statistically rigorous wayдля определения того, что угадать. Тем не менее, из этого ясно видно, что в случае хвостов ей приходится угадывать дважды , таким образом угадывание хвостов в два раза вероятнее, чем правильное предположение. Это следует из оперативной процедуры эксперимента.

Частота вероятности

Вероятность часто встречающихся - это понятие статистики, основанное на теориях Фишера, Неймана и (Эгона) Пирсона.

Основное понятие в вероятности вероятности состоит в том, что операции в экспериментах могут повторяться, по крайней мере гипотетически, бесконечное число раз. Каждая такая операция приводит к результату .$n$$E_{n}$

Частота вероятности исхода определяется как:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

Это именно то, что «Спящая красавица» сделала в своей голове выше: если - случай правильности при угадывании ГОЛОВ, то сходится к .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

А ей верит?

Поэтому, когда она, наконец, прибывает сюда в своих рассуждениях, у нее есть статистически строгие основания для обоснования своих убеждений. Но как она в конечном итоге будет формировать их, действительно зависит от ее психики.

Я просто подумал о новом способе объяснить мою точку зрения, и что не так с ответом 1/2. Запустите две версии эксперимента одновременно, используя один и тот же бросок монеты. Одна версия так же, как оригинал. В другом случае нужны три (или четыре - это неважно) добровольца; каждому назначается своя комбинация «голова или хвост» и «понедельник или вторник» (комбинация «голова + вторник» не указывается, если вы используете только трех добровольцев). Пометьте их как HM, HT, TM и TT соответственно (возможно, опуская HT).

Если волонтер во второй версии пробуждается таким образом, она знает, что она с одинаковой вероятностью была бы помечена как HM, TM или TT. Другими словами, вероятность того, что ее назвали HM, учитывая, что она не спит, составляет 1/3. Поскольку бросок монеты и день соответствуют этому заданию, она может тривиально сделать вывод, что P (Heads | Awake) = 1/3.

Добровольца в первом варианте можно разбудить не раз. Но так как «сегодня» - это только один из тех двух возможных дней, когда она не спит, у нее точно такая же информация, как у добровольца-бодрствующего во второй версии. Она знает, что ее нынешние обстоятельства могут соответствовать ярлыку, нанесенному одному, и ТОЛЬКО ОДНОМУ , другим добровольцам. То есть она может сказать себе: «Доброволец, помеченный как HM, или HT, или TT, также не спит. Поскольку каждый из них одинаково вероятен, существует вероятность 1/3, что это HM, и, таким образом, 1/3 вероятность, что монета приземлилась хвосты «.

Причина, по которой люди совершают ошибку, заключается в том, что они путают «проснулся когда-нибудь во время эксперимента» с «проснулся сейчас». Ответ 1/2 приходит от оригинальной СО, говорящей себе: «НМ - единственный другой активный бодрствующий СЕЙЧАС , или ТМ и ТТ ОБА проснулись ИНОГДА В ТЕЧЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА . Поскольку каждая ситуация одинаково вероятна, существует вероятность 1/2». это HM и, таким образом, 1/2 шанса, что монеты приземлились хвосты. " Это ошибка, потому что сейчас проснулся только один волонтер.

Вместо того, чтобы давать статистически строгий ответ, я бы хотел немного изменить вопрос таким образом, чтобы убедить людей, чья интуиция приводит их к тому, чтобы быть наполовину.

Некоторые исследователи хотят усыпить вас. В зависимости от секретного броска справедливой монеты, они разбудят вас либо один раз (головы), либо девятьсот девяносто девять раз (хвосты). После каждого пробуждения они возвращают вас спать с лекарством, которое заставляет вас забыть это пробуждение.

Когда вы проснетесь, в какой степени вы должны верить, что результатом броска монеты были головы?

Следуя той же логике, что и раньше, может быть два лагеря -

• Халферы - подбрасывание монеты было справедливым, и С.Б. знает об этом, поэтому она должна верить, что есть шанс наполовину получить головы.
• Thousanders - если эксперимент был повторен много раз, бросок монеты будет головы только один раз в тысячу раз, поэтому она должна полагать, что вероятность голов является один из тысячи.

Я полагаю, что некоторая путаница в вопросе в первоначальном виде возникает просто потому, что между половиной и третью нет большой разницы. Люди, естественно, думают о вероятностях как о некоторых нечетких понятиях (особенно, когда вероятность представляет собой степень веры, а не частоту), и трудно понять разницу между степенями веры в половину и треть.

Тем не менее, разница между половиной и один на тысячу гораздо более интуитивно. Я утверждаю, что для многих людей будет интуитивно очевидно, что ответ на эту проблему будет один на тысячу, а не половина. Мне было бы интересно увидеть, как "недоумок" защищает свои аргументы, используя вместо этого эту версию проблемы.

Если бы спящей красавице приходилось говорить либо головы, либо хвосты, она бы минимизировала ожидаемую функцию потери 0-1 (оценивается каждый день), подбирая хвосты. Однако, если функция потерь 0-1 оценивалась только в каждом испытании, то либо головы, либо хвосты были бы одинаково хорошими.

Победы победителей

Вместо монеты давайте предположим, что игра в кости будет честной:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Каждый раз, когда они спрашивают ее, «в какой степени вы должны верить, что результат игры в кости был 1?»

Хаферы скажут, что вероятность игры в кости = 1 равна 1/6 . Хозяева скажут, что вероятность игры в кости = 1 равна 1/21.

Но симуляция четко решает проблему:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Также мы можем смоделировать проблему броска

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Очевидный парадокс проистекает из ложной предпосылки, что вероятности абсолютны. Фактически вероятности связаны с определением подсчитываемых событий.

Это важный момент для машинного обучения. Возможно, мы захотим вычислить вероятность чего-либо (например, правильность транскрипции для данного фрагмента звука) путем его разложения на факторы (вероятности букв в разное время, ), смоделированные моделью, которая смотрит не на весь звук, а на мгновение его (он вычисляет ). может быть равно потому что P определены по-разному . Различные P не могут быть включены в одно и то же уравнение, но тщательный анализ может позволить нам конвертировать между двумя областями.$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

И P (Головы) = 1/2 по отношению к мирам (или рождениям), и P (Головы) = 1/3 по мгновениям (или пробуждениям) верны, но после усыпления Спящая красавица может рассчитывать только вероятности относительно моментов потому что она знает, что ее память стирается. (Перед сном она рассчитала бы это в отношении миров.)

Я думаю, что ошибка связана с «третями», и моя причина в том, что «пробуждения» не столь вероятны - если вы проснулись, то, скорее всего, это будет «первый раз», когда вы проснулись. % шансов на самом деле.

Это означает, что вы не можете считать «3 результата» (головы 1, хвосты 1, хвосты 2) одинаково.

Я думаю, что это также, кажется, случай где - это предложение, что SB пробужден. Сказать что-то верно дважды - это то же самое, что сказать это один раз. СБ не было предоставлено новых данных, потому что предыдущий прогноз был . Другие способы положить его в и . Это означает, что$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Математика ясно показана в ответе @ pit847, поэтому я не буду повторять его в своем.

но с точки зрения ставки доллар, чтобы угадать результат при каждом пробуждении, и вам дают долларов, если вы правы. В этом случае вы всегда должны угадывать хвосты, потому что этот результат «взвешенный». Если у монеты были хвосты, то вы будете делать ставки дважды. так что ваша ожидаемая прибыль (назовите это ), если вы предполагаете, что головы и аналогично для угадывания хвостов $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

таким образом, вы получаете дополнительный в среднем от угадывания хвостов. сумма «справедливой ставки» равна$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

Теперь, если мы повторим вышеупомянутое, но используем треть вместо половины, мы получим и . так что у нас все еще есть предположение, что угадывание хвостов - лучшая стратегия. Кроме того, сумма «справедливой ставки» составляет$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

Теперь мы можем сказать, что «третеры» должны принять ставку, где . Но «полуфабрикаты» не приняли бы эту ставку. У @Ytsen de Boer есть симуляция, которую мы можем проверить. У нас голов и хвостов, поэтому ставки на хвостах дадут вам на выигранных ставок. Но ... вам пришлось сыграть раза, чтобы получить это - а это чистый убыток - так что "трети" проигрывают! Также обратите внимание, что это на самом деле немного благоприятный исход для ставок на хвост.$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Когда спящая красавица просыпается, она знает:

Честная монета была брошена, чтобы дать результат ; если то это единственное последующее пробуждение; и если то это одно из двух последующих пробуждений.$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

Назовите эту информацию . Ничто другое не имеет отношения к ее вопросу, а именно:$\mathcal{I}$

Что такое$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

Это вопрос присвоения вероятностей, а не их вывода. Если - число пробуждения, то эквивалентно $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

который логически эквивалентен

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

Спящая красавица не имеет дополнительной информации. По принципу недостаточной причины она обязана назначать вероятность каждому дизъюнкту. Следовательно, .$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

Если подумать секунд, предыдущий ответ применяется, когда «честная монета» интерпретируется как означающая лишь то, что есть две возможности для результата броска монеты, или . Но, вероятно, более точная интерпретация фразы «честная монета» заключается в том, что она прямо указывает, что , после чего ответ дается в постановке задачи.$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

Однако, на мой взгляд, утверждения такого рода технически недопустимы, потому что вероятность - это нечто, что должно быть разработано из предшествующих и последующих положений. Фраза «секретный бросок прекрасной монеты» поднимает вопрос: откуда Спящая Красавица узнает, что это справедливо? Какая у нее информация, которая это подтверждает? Обычно справедливость идеальной монеты определяется тем фактом, что есть две возможности, которые в информационном отношении эквивалентны. Когда подбрасывание монеты смешивается с фактором пробуждения, мы получаем три варианта, которые в информационном отношении эквивалентны. По сути, это трехсторонняя идеальная монета, поэтому мы приходим к решению выше.

Я опоздал на вечеринку.

Этот вопрос очень похож на проблему Монти Холла, где вас просят угадать, за какой из 3 дверей стоит приз. Скажем, вы выбираете дверь № 1. Затем докладчик (который знает, где находится приз) удаляет Дверь № 3 из игры и спрашивает, хотите ли вы переключить свое предположение с Двери № 1 на Дверь № 2 или придерживаться своего первоначального предположения. История гласит, что вы всегда должны переключаться, потому что есть большая вероятность того, что приз будет в Дверь №2. Люди обычно запутываются в этой точке и указывают, что вероятность того, что приз окажется в одной из дверей, все еще 1/3. Но дело не в этом. Вопрос не в том, что начальная вероятность была, реальный вопрос в том, каковы ваши шансы, что ваше первое предположение было верным, и каковы шансы, что вы ошиблись. В этом случае вы должны переключиться, потому что шансы, что вы ошиблись, составляют 2/3.

Как и в случае с проблемой Монти Холла, все становится невероятно яснее, если мы сделаем 3 двери на миллион дверей. Если есть миллион дверей, и вы выбираете Дверь № 1, и ведущий закрывает двери от 3 до 1 миллиона, оставляя в игре только Двери № 1 и Двери № 2, вы бы переключились? Конечно, вы бы! Вероятность того, что вы правильно выбрали Дверь №1, была 1 на миллион. Скорее всего, вы этого не сделали.

Другими словами, ошибка в рассуждениях возникает из-за того, что вероятность выполнения действия равна вероятности того, что действие было выполнено, когда контекст между ними не делает их эквивалентными утверждениями. По-разному, в зависимости от контекста и обстоятельств проблемы, вероятность «правильного выбора» может не совпадать с вероятностью «правильного выбора».

Аналогично с проблемой спящей красавицы. Если вы не пробуждались 2 раза в случае хвостов, но 1 миллион раз, для вас более логично было бы сказать: «это текущее пробуждение, которое я испытываю сейчас, гораздо более вероятно, будет одним из тех, что находятся в середине полоса миллионов пробуждений от броска Хвостов, а я только что натолкнулся на то единственное пробуждение, которое произошло в результате Хедса ". Аргумент, что это честная монета, здесь не имеет ничего общего. Честная монета говорит вам только о том, каковы шансы «бросить» головы, то есть вероятность того, что вам придется проснуться один раз против миллиона раз, когда вы впервые бросаете эту монету. Поэтому, если вы попросите SB перед экспериментом выбрать, будет ли она спать один или миллион раз перед каждым броском, ее вероятность «правильного выбора» действительно составляет 50%.

Но с этого момента, принимая во внимание последовательные эксперименты и тот факт, что С.Б. не сообщают, в каком эксперименте она сейчас находится, в любой момент, когда она проснулась, вероятность наличия «брошенных» голов намного ниже, поскольку она с большей вероятностью будет проснулся от одного из миллионов пробуждений, чем от одного.

Обратите внимание, что это подразумевает последовательные эксперименты в соответствии с формулировкой проблемы. Если С.Б. заверила с самого начала эксперимента, что будет только один эксперимент (т. Е. Только один тосс), то ее вера возвращается к 50%, поскольку в любой момент времени тот факт, что она могла проснуться много раз до сих пор становится неактуальным. Другими словами, в этом контексте вероятность «правильного выбора» и «правильного выбора» снова становится эквивалентной.

Также обратите внимание, что любые перефразирования, использующие «ставки», также являются разными вопросами, полностью меняющими контекст. Например, даже в одном эксперименте, если бы вы зарабатывали деньги каждый раз, когда догадались правильно, вы бы явно пошли на хвост; но это потому, что ожидаемая награда выше, а не потому, что вероятность хвостов отличается от головы. Поэтому любые «решения», которые вводят ставки, действительны только в той степени, в которой они сводят проблему к очень конкретной интерпретации.

Перед тем, как СБ ложится спать, она полагает, что вероятность следующего броска монеты в виде головы равна 1/2. После пробуждения она полагает, что вероятность того, что самый последний бросок монеты был головами, составляет 1/3. Эти события не одно и то же, потому что между пробуждением и подбрасыванием монет нет однозначного соответствия.

Как насчет следующего решения:

Вопрос состоит в том, чтобы оценить вероятность выпадения монеты из «головы». Таким образом, если бы «Спящая красавица» проснулась в понедельник и знала, какой сегодня день, ей бы действительно пришлось поверить, что вероятность «головы» составляет 50%.

Однако, если бы она проснулась во вторник и знала, какой сегодня день, вероятность выпадения монет из головы была бы равна нулю.

Таким образом, знание того, в какой день он добавляет критически важную информацию, изменяет вероятность «головы».

Спящая красавица, однако, не знает, какой это день, когда она просыпается. Таким образом, нам необходимо определить вероятности пробуждения либо в понедельник, либо во вторник, соответственно.

Во-первых, давайте рассмотрим вероятность того, что это вторник. Когда экспериментатор подбрасывает монету, результат решает, по какому сценарию эксперимента он будет следовать. Если это головы, СБ проснулся только в понедельник. Если это хвосты, она просыпается как в понедельник, так и во вторник. Вероятности эксперимента по одному из этих путей, очевидно, равны 50/50. Теперь, если мы находимся в ветке «двух пробуждений», вероятность того, что это будет вторник или понедельник, когда проснется SB, составляет 50%. Таким образом, мы можем рассчитать общую вероятность того, что это будет вторник, когда СО проснется, как 0,5 * 0,5 = 0,25. Очевидно, что вероятность того, что она наступит в понедельник, когда она проснется, составляет 1-0,25 = 0,75.

Если бы СБ знала, что она проснулась во вторник, вероятность того, что монета выпала «головой», была бы равна нулю.

Если бы она, однако, знала, что проснулась в понедельник, вероятность того, что монета выпала «головой», составила бы 50%. Но мы знаем, что вероятность того, что понедельник будет 0,75. Итак, чтобы узнать общую вероятность того, что монета выпала «головой», нужно умножить 0,75 * 0,5 = 0,375.

Ответ, таким образом, вероятность того, что монета выпала "головы" составляет 37,5%

Выше это просто предложение. Пожалуйста, укажите, если вы видите недостатки в моих рассуждениях.