Как проверить, является ли

Предположим , у меня есть три независимые группы, со средним значением $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ соответственно.

Как я могу проверить, $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ или нет, используя $n_1,~n_2,~n_3$ образца из каждой группы?

Я хотел бы знать некоторую общую методологию, а не подробный расчет. Я не мог понять, как установить мою гипотезу $H_0$ и $H_1$ .

hypothesis-testing multiple-comparisons isotonic

— 456 123
источник

Это случай статистического вывода с ограниченным порядком . Есть книги на эту тему .

— kjetil b halvorsen

Есть также старая книга Барлоу, Бартоломью, Бремнера и Бранка « Статистический вывод под ограничениями порядка» (1973) (хотя с тех пор произошли некоторые события); Что касается непараметрических тестов, то есть тест Джонкира-Терпстры (например, см. Коновер) и один из тестов на совпадение (попробуйте книгу Нейва и Уортингтона). Обычно вы пишете равенство NULL и заказанную альтернативу.

— Glen_b

Похожий вопрос с ответом

— kjetil b halvorsen

Здесь следует сказать, что не каждый имеет

выборок из группы

а тот

что имеет выборку размера

из группы

n_{i}

$n_i$

i,

$i,$

n_{i}

$n_i$

i .

$i. \qquad$

— Майкл Харди

Ответы:

В статистике вы не можете проверить, является ли X истинным или нет. Вы можете только попытаться найти доказательства того, что нулевая гипотеза неверна.

Допустим, ваша нулевая гипотеза

H_{0}^{1} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3} .

$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$ Также предположим, что у вас есть способ оценить вектор

μ = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3})^{'}

$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ . Для простоты предположим, что у вас есть оценщик

x \sim N (μ, Σ),

$x \sim N(\mu, \Sigma),$ где

Σ

$\Sigma$ равен

3 \times 3

$3 \times 3$ ковариатная матрица

. Мы можем переписать нулевую гипотезу как

A μ < 0,

$A \mu < 0,$ где

Это показывает, что ваша нулевая гипотеза может быть выражена как ограничение неравенства на векторе

. Естественная оценка

определяется как

Теперь вы можете использовать каркас для проверки ограничения неравенства на нормальных векторах, заданного в:

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$

A μ

$A \mu$

A μ

$A\mu$

A x \sim N (A μ, A Σ A^{'}) .

$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$

Кудо, Акио (1963). «Многомерный аналог одностороннего теста». В кн .: Биометрика 50,3/4, с. 403–418.

Этот тест также будет работать, если предположение о нормальности выполняется только приблизительно («асимптотически»). Например, это сработает, если вы сможете взять примерные средства из групп. Если вы рисуете образцы размером $n_1, n_2, n_3$ и если вы можете рисовать независимо от групп, то $\Sigma$ является диагональной матрицей с диагональю

(σ_{1}^{2} / n_{1}, σ_{2}^{2} / n_{2}, σ_{3}^{2} / n_{3})^{'},

$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$ где

σ_{k}^{2}

$\sigma_k^2$ - дисперсия в группе

k = 1, 2, 3

$k = 1, 2, 3$ . В приложении вы можете использовать выборочную дисперсию вместо неизвестной популяции без изменения свойств теста.

H_{1}^{2} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3}

$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$

H_{0}^{2} : NOT H_{1} .

$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$

H_{1} : A μ < 0

$H_1: A\mu <0$

H_{0}^{2} : there exists a k = 1, 2 such that (A μ)_{k} \geq 0 .

$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$

H_{0, 1}^{2} : (A μ)_{1} \geq 0.

$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$

H_{0, 2}^{2} : (A μ)_{2} \geq 0.

$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

Σ

$\Sigma$

$H_0^2$

H_{0}^{2} : max_{k = 1, 2} (A μ)_{k} \geq 0.

$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$

max A x

$\max Ax$

— Андреас Дземски
источник

Справедливо, я отредактировал свой ответ.

— Андреас Дземски

x

$x$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

μ

$\mu$

Ответ, предоставленный @ andreas-dzemski, верен, только если мы знаем, что данные обычно распространяются.

Если мы не знаем распределение, я считаю, что было бы лучше выполнить непараметрический тест. В этом случае простейшим кажется запустить тест перестановки. Это книга на эту тему, и это хорошее онлайн-объяснение. Ниже я включаю код R для вычисления этого теста.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))

— негодник
источник