Вероятность

9

Предположим, что $X_1$ и $X_2$ - независимые геометрические случайные величины с параметром $p$ . Какова вероятность того, что $X_1 \geq X_2$ ?

Я запутался в этом вопросе, потому что нам ничего не говорят о $X_1$ и $X_2$ кроме геометрических. Разве это не будет $50\%$ потому что $X_1$ и $X_2$ могут быть чем угодно в диапазоне?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Новая попытка

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ и $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Следовательно, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Добавление $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ к этому, я получаю $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

Это правильно?

self-study random-variable geometric-distribution

— IRCA
источник

3

Пожалуйста, добавьте тег «самообучения».

— StubbornAtom

1

На самом деле, поскольку X1и X2являются дискретными переменными, равенство делает вещи немного менее очевидными.

— usεr11852

13

Это не может быть $50\%$ потому что $P(X_1=X_2)>0$

Один подход:

Рассмотрим три события $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ и $P(X_1=X_2)$ , которые разделяют пространство выборки.

Существует очевидная связь между первыми двумя. Напишите выражение для третьего и упростите. Отсюда и решайте вопрос.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Я отредактировал мой пост с моим новым ответом. Не могли бы вы взглянуть и посмотреть, если это правильно?

— IrCa

1

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

6

Ваш ответ, следуя предложению Глена, является правильным. Другой, менее изящный, способ просто обусловить:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Это даст вам тот же , после обработки двух геометрических рядов. Путь Глена лучше. $1/(2-p)$

— Zen
источник

4

примечание - я думаю, ваш способ лучше применять к новым проблемам. Потому что это основано на первых принципах. Трюк / интуиция из ответа glen_b обычно приходит после того, как проблема была решена на вашем пути

— вероятностная

3

@probabilityislogic Я разделяю ваш энтузиазм по поводу производных от «первых принципов». Однако для современного математика поиск и использование симметрии даже более фундаментальны, чем первые принципы (определения), на которые вы ссылаетесь: мы могли бы назвать это метапринципом математики. Это гораздо больше, чем просто «трюк».

— whuber