Имеют ли плотности случайные процессы, такие как процесс Гаусса / процесс Дирихле? Если нет, то как к ним можно применить правило Байеса?

Процесс Дирихле и процесс Гаусса часто называют «распределениями по функциям» или «распределениями по распределениям». В таком случае, могу ли я осмысленно говорить о плотности функции под GP? То есть, есть ли у гауссовского процесса или процесса Дирихле понятие плотности вероятности?

Если это не так, как мы можем использовать правило Байеса, чтобы перейти от предыдущего к последнему, если понятие предыдущей вероятности функции не является четко определенным? Существуют ли такие вещи, как оценки MAP или EAP, в байесовском непараметрическом мире? Большое спасибо.

«Плотность» или «вероятность» относится к теореме Радона-Никодима в теории меры. Как отметил @ Xi'an, когда вы рассматриваете конечный набор так называемых частичных наблюдений случайного процесса, вероятность соответствует обычному понятию производной по мере Лебега. Например, вероятность гауссовского процесса, наблюдаемого при известном конечном наборе индексов, равна вероятности гауссовского случайного вектора с его средней ковариацией, выведенной из таковой процесса, которая может принимать параметризованные формы.

В идеализированном случае, когда из стохастического процесса доступно бесконечное число наблюдений, мера вероятности находится в бесконечномерном пространстве, например, в пространстве непрерывных функций, если случайный процесс имеет непрерывные пути. Но ничто не существует, как мера Лебега в бесконечномерном пространстве, поэтому нет прямого определения вероятности.

Для гауссовских процессов есть несколько случаев, когда мы можем определить вероятность, используя понятие эквивалентности гауссовских мер. Важным примером является теорема Гирсанова, широко используемая в финансовой математике. Это определяет вероятность диффузии Ито как производной по распределению вероятностей стандартного винеровского процесса определенного для . Изящная математическая экспозиция найдена в книге Бернта Оксендала . (Предстоящая) книга Särkkä и Solin предлагает более интуитивную презентацию, которая поможет практикующим. Доступна блестящая математическая экспозиция Нейта Элдерджа « Анализ и вероятность на бесконечномерных пространствах ».$Y_t$$B_t$$t \geq 0$

Обратите внимание, что вероятность стохастического процесса, который будет полностью наблюдаться статистиками, иногда называется вероятностью заполнения .